Greens teorem
Eksempel
Regn ut linjeintegralet $$ \oint_C xy \, dx + (x+y) \, dy$$
Der \(C\) er sirkelen gitt ved \(x^2 + y^2 =1\).
Løsning: La \(D\) være enhetsdisken. Ved Greens teorem får vi
\[ \begin{align} \oint_C xy \, dx + (x+y) \, dy &= \iint_D \left( \frac{\partial }{\partial y} (x+y) - \frac{\partial }{\partial x} xy \right) \, dS\\ &=\iint_D (1-x) \, dS = \pi, \end{align} \]
der vi har benyttet symmetri i den siste likheten.
Man kan også regne ut linjeintegralet direkte. En mulig parametrisering av \(C\) er \(x =\cos t, y= \sin t\) som gir \( dx = -\sin t \, dt, dy =\cos t \, dt\). Altså er
\[ \begin{align} \oint_C xy \, dx + (x+y) \, dy &= \int_0^{2\pi} \left( -\cos t \sin^2 t + ( \cos t+ \sin t) \cos t \right) \, dt \\ &= - \frac{1}{3}\sin^3 t + \frac{t}{2} + \frac{1}{4} \sin{2t} - \frac{1}{4}\cos{2t} \big |_0^{2\pi} = \pi. \end{align} \]