Et uegentlig integral løst ved bruk av polarkoordinater
Eksempel
Vi vil finne verdien av det uegentlige integralet
\[I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx .\]
Løsning
Ved første øyekast har ikke integralet \(I\) noe med dobbeltintegraler å gjøre. Om vi derimot ser på integralet kvadrert, finner vi at
\[ \begin{align} I^2 &= \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \right) \cdot \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} \, dy \right) \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2+y^2)} \, dx dy \\ &= \int_0^{2\pi} \int_0^{\infty} e^{-r^2} r \, dr d\theta, \end{align} \]
som er et uegentlig dobbeltintegral gitt i polarkoordinater. Verdien av integralet er gitt ved
\[\lim_{R \to \infty} \int_0^{2\pi} \int_0^R e^{-r^2} r \, dr d\theta ,\]
dersom denne grenseverdien eksisterer. Her får vi
\[ \begin{align} \int_0^{2\pi} \int_0^R e^{-r^2} r \, dr d\theta &= 2\pi \left[ -\frac{1}{2}e^{-r^2}\right]_0^R \\ &= \pi \left(1-e^{-R^2}\right). \end{align} \]
Dermed er
\[I^2 = \lim_{R \to \infty}\pi \left(1-e^{-R^2}\right) = \pi ,\]
og det følger at
\[I = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi} .\]