Globalt minimum og maksimum for en funksjon

Eksempel

Vi vil finne global maksimums- og minimumsverdi for funksjonen

\[f(x,y)=xy-y^2\]

på sirkelflaten \(x^2+y^2 \leq 1.\)

Løsning

Definisjonsmengden

\[D_f = \{(x,y) \, : \, x^2+y^2 \leq 1 \}\]

er en lukket og begrenset mengde i \(\mathbb{R}^2\), så ekstremalverdisetningen garanterer at \(f\) har globale ekstremalverdier i \(D_f\). Vi ser først på gradienten

\[\nabla f (x,y)= \left( y, x-2y \right) .\]

Denne er veldefinert i hele planet, så \(f\) har ingen singulære punkter. Funksjonen har imidlertid ett kritisk punkt \((0,0)\) i definisjonsmengden, og her tar \(f\) verdien

\[f(0,0) = 0 .\]

Vi evaluerer så funksjonen på randen \(\partial D_f\). Denne kan parametriseres som

\[x(t) = \cos t , \quad y(t) = \sin t, \quad 0\leq t \leq 2\pi ,\]

og innsatt i \(f=f(x,y)\) får vi

\[f(\cos t, \sin t) = \cos t \sin t - \sin^2t = g(t) .\]

Vi finner så ekstremalverdiene for funksjonen \(g\) på intervallet \([0,2\pi]\). Vi har

\[ \begin{align} g'(t)&= \cos^2 t -\sin^2t -2\sin t \cos t \\ &= \cos 2t - \sin 2t , \end{align} \]

og vi ser at \(g'(t)=0\) hvis og bare hvis \(\cos 2t = \sin 2t\). Dette skjer for fire verdier av \(t\) i intervallet \([0,2\pi]\), nemlig

\[t_j = \frac{\pi}{8}+ \frac{\pi}{2}\cdot j, \quad j=0,1,2,3 .\]

Vi har at

\[ \begin{align} \sin 2t_j &= \cos 2t_j = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad j=0,2; \\ \sin 2t_j &= \cos 2t_j = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad j=1,3. \end{align} \]

Skriver vi om funksjonen \(g\) som

\[g(t)=\frac{1}{2}\sin 2t + \frac{1}{2}(\cos 2t-1),\]

ser vi dermed at

\[g(t_j)=f(\cos t_j, \sin t_j)= \frac{1}{2}(\sqrt{2}-1)\]

for \(j=0,2\), og

\[g(t_j) = f(\cos t_j, \sin t_j) = -\frac{1}{2}(\sqrt{2}+1)\]

for \(j=1,3\). Sammenligner vi disse verdiene med det kritiske punktet \(f(0,0)=0\), ser vi at den globale maksimumsverdien til \(f\) i definisjonsmengden \(D_f\) er \((\sqrt{2}-1)/2\), og den globale minimumsverdien til \(f\) er \(-(\sqrt{2}+1)/2\). Grafen til \(f\) over \(D_f\) er skissert under.

Grafen til \(f\) over definisjonsmengden \(D_f\). Vi ser at \(f\) tar sin globale maksimumsverdi i to randpunkter (markert i blått), og likeledes sin globale minimumsverdi i to randpunkter (markert i gult). Det kritiske punktet \((0,0)\) er et sadelpunkt.