Bruk av annenderiverttesten

Eksempel

Vi vil finne og klassifisere de kritiske punktene til funksjonen

\[f(x,y) = x \sin y .\]

Løsning

Vi finner først de partiellderiverte og setter disse lik null:

\[ \begin{align} \frac{\partial f}{\partial x} &= \sin y = 0 , \, &\text{(A)} \\ \frac{\partial f}{\partial y} &= x\cos y=0 . \, &\text{(B)} \end{align} \]

Fra ligning (A) får vi at \(y=\pi n\) for \(n\in \mathbb{Z}\). Setter vi dette inn i ligning (B) ser vi at vi må ha \(x=0\). Altså er de kritiske punktene til \(f\) alle punkter på formen

\[(0,\pi n), \quad n \in \mathbb{Z.}\]

La oss nå klassifisere disse ved å bruke annenderiverttesten. Vi har at

\[ \begin{align} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} &= 0 ,\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} &= \cos y ,\\ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}&=-x\sin y . \end{align} \]

Dermed er

\[\mathcal{D} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} - \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right)^2 = -\cos^2 y .\]

I alle kritiske punkter er \(|\cos y|=1\), og det følger at \(\mathcal{D}>0\). Altså er alle kritiske punkter for funksjonen sadelpunkter. Grafen til \(f\) er skissert nedenfor.

Skisse av grafen \(z= f(x,y)=x\sin y\). Sadelpunktene \((0,\pi n)\) for \(n=-2,\ldots , 2\) er markert i blått.