Omkrets av sirkel

Eksempel

Vi skal vise at en sirkel med radius \(R\) har omkrets \(2\pi R\).

Løsning: Vi husker fra eksempelet Parametrisering av en sirkel at en sirkel med radius \(R\) kan parametriseres som

\[ \begin{align} x &= f(t) = R\cos t ,\\ y&= g(t) = R\sin t ,\\ \end{align} \]

der \(0\leq t < 2\pi\). Bruker vi formelen for buelengde, får vi dermed

\[ \begin{align} L&= \int_0^{2\pi} \sqrt{(f')^2 + (g')^2} \, dt\\ & = \int_0^{2\pi} \sqrt{R^2(\sin^2 t+\cos^2 t)} \, dt = 2\pi R. \end{align} \]