Buelengde til kurve gitt i polarkoordinater

Eksempel

Vi skal finne buelengden til den polare kurven $$r=\theta^2, \quad 0 \leq \theta \leq \sqrt{5}.$$ Vi setter inn i formelen for buelengde og får

\[ \begin{align} s&=\int_0^\sqrt{5} \sqrt{(f(\theta)^2 + (f'(\theta))^2}\, d\theta \\ &=\int_0^\sqrt{5} \sqrt{\theta^4 + 4\theta^2 }\, d\theta \\ &= \int_0^\sqrt{5} \theta \sqrt{\theta^2 + 4} \, d\theta. \end{align} \]

Vi bruker substitusjonen $u=\theta^2 + 4$, som gir de nye grensene $4 \leq u \leq 9$. Da blir

\[ \begin{align} s&= \frac{1}{2}\int_4^9 \sqrt{u} \, du \\ &=\frac{1}{3}u^{\frac{3}{2}}\Bigr{|}_{u=4}^{u=9} =\frac{19}{3}. \end{align} \]