Under arbeid: Integrasjon i vektorfelt (15.1-15.6)

Når vi har en vektorvaluert funksjon av flere variable, kalles dette et vektorfelt. I fysikken brukes slike funksjoner for å beskrive fysiske størrelser som har både størrelse og retning, og som varierer i planet eller rommet (slik som for eksempel gravitasjonskraft eller vindhastighet). Vi skal se nærmere på vektorfelter og integrasjon i vektorfelt. Der vi i kapitlene om dobbeltintegraler og trippelintegraler kun så på integraler over et areal i planet eller et volum i rommet, ser vi nå på integraler langs linjer i plan og rom, eller over flater i rommet.

Vektorfelter

Et vektorfelt \(\mathbf{F}\) er en funksjon fra en delmengde av \(\mathbb{R}^n\) til en delmengde av \(\mathbb{R}^n\). Tilsvarende har vi at et skalarfelt \(f\) er en funksjon fra en delmengde av \(\mathbb{R}^n\) til en delmengde av \(\mathbb{R}\). Et skalarfelt er altså et annet navn for flervariabel funksjon.

Et enkelt eksempel på et vektorfelt i to dimensjoner er funksjonen

\[\mathbf{F}(x,y) = (-y,x) = -y \mathbf{i} + x\mathbf{j} .\]

Vi ser at \(\mathbf{F}\) tilordner den todimensjonale vektoren \((-y,x)\) til punktet \((x,y)\). Dette er forsøkt illustrert nedenfor.

Vektorfeltet \(\mathbf{F}(x,y)=(-y,x).\)

Det er ikke uvanlig å skalere alle vektorer til å ha lengde \(1\) i illustrasjoner av vektorfelt. Om vi gjør dette for \(\mathbf{F}(x,y)=(-y,x)\), ser feltet slik ut:

Illustrasjon av vektorfeltet \(\mathbf{F}(x,y)=(-y,x),\) der hver vektor er skalert til lengde \(1.\)

Retningen på feltet i ethvert punkt kommer da tydeligere fram, men vi mister informasjon om størrelsen på \(\mathbf{F}\) i punktet.

Strømningslinjer

En strømningslinje, eller feltlinje, til et vektorfelt \(\mathbf{F}\) er en kurve som i ethvert punkt har en tangent som peker i samme retning som vektorfeltet. Dersom kurven har parametriseringen \(\mathbf{r}(t)\), hvor \(t\in [a,b]\), må denne oppfylle ligningen

\[\mathbf{r}'(t) = \lambda (t) \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)),\]

der \(\lambda(t)\) er en skalarfunksjon på intervallet \([a,b]\). Figuren nedenfor viser et vektorfelt med tilhørende strømningslinjer.

Vektorfelt og tilhørende strømningslinjer.

Det er ikke alltid mulig å finne et eksplisitt uttrykk for strømningslinjene til et gitt felt, da ligningen \(\mathbf{r}'(t) = \lambda (t) \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\) kan være vanskelig å løse. Her kan du se hvordan vi finner dem for vektorfeltet \(\mathbf{F}(x,y)=(-y,x) .\)