Linjeintegral i skalarfelt

La

\[\mathbf{r}(t)= \left( x(t), y(t), z(t)\right), \quad t \in [a,b],\]

være en glatt parametrisering av en kurve \(\mathcal{C}\) i rommet. Vi husker fra kapittelet om buelengde at buelengden til \(\mathcal{C}\) er gitt ved integralet

\[s= \int_{\mathcal{C}} \, ds = \int_a^b |\mathbf{r}'(t)| \, dt = \int_a^b v(t) \, dt,\]

der \(ds = |\mathbf{r}'(t)| dt\) og \(|\mathbf{r}'(t)| = v(t).\) På lignende vis kan vi definere linjeintegralet langs \(\mathcal{C}\) over et skalarfelt.

Dersom skalarfeltet \(\delta=\delta(x,y,z)\) angir massetetthet (per lengdeenhet), og kurven \(\mathcal{C}\) angir posisjonen til en streng i rommet, så vil verdien av linjeintegralet

\[m = \int_{\mathcal{C}} \, dm = \int_{\mathcal{C}} \delta(x,y,z) \, ds\]

være den totale massen av strengen. Vi kan da finne strengens massesenter \((\overline{x}, \overline{y}, \overline{z})\) ved å regne ut linjeintegralene

\[ \begin{align} \overline{x} &= \frac{1}{m} \int_{\mathcal{C}} x \, dm, \\ \overline{y} &= \frac{1}{m} \int_{\mathcal{C}} y \, dm , \\ \overline{z} &= \frac{1}{m} \int_{\mathcal{C}} z \, dm . \end{align} \]

Legg merke til at massesenteret ikke trenger å ligge på selve strengen. Et eksempel på utregning av massesenter for en streng er gitt her.