Enhetstangent, enhetsnormal, binormal og krumning
Eksempel
La \(\mathcal{C}\) være kurven gitt ved parametriseringen
\[\mathbf{r}(t) = \left(\sin t, -3t, -\cos t \right), \quad 0 \leq t \leq 4\pi .\]
Vi vil finne enhetstangent, enhetsnormal og binormal til \(\mathcal{C}\) i et vilkårlig punkt \(\mathbf{r}(t)\), samt krumningen til \(\mathcal{C}\) i punktet.
Løsning
Vi har at
\[\mathbf{r}'(t) = (\cos t, -3, \sin t),\]
og følgelig er
\[|\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{\cos^2t+3^2+\sin^2t} = \sqrt{10} .\]
Altså er enhetstangenten i et punkt \(\mathbf{r}(t)\) gitt ved
\[\mathbf{\hat{T}}(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|} = \frac{1}{\sqrt{10}}(\cos t, -3, \sin t) .\]
Videre har vi at
\[\mathbf{\hat{T}}'(t) = \frac{1}{\sqrt{10}}(-\sin t, 0, \cos t),\]
og
\[|\mathbf{\hat{T}}'(t)| = \frac{1}{\sqrt{10}}\sqrt{\sin^2t+\cos^2t}= \frac{1}{\sqrt{10}} .\]
Dermed er enhetsnormalen i punktet \(\mathbf{r}(t)\) gitt ved
\[\mathbf{\hat{N}}(t) = \frac{\mathbf{\hat{T}}'(t)}{|\mathbf{\hat{T}}'(t)|} = (-\sin t, 0, \cos t),\]
og krumningen i punktet er
\[\kappa (t) = \frac{|\mathbf{\hat{T}}'(t)|}{|\mathbf{r}'(t)|} = \frac{1}{10} .\]
Til slutt finner vi binormalen. Denne er gitt ved
\[ \begin{align} \mathbf{\hat{B}} &= \mathbf{\hat{T}} \times \mathbf{\hat{N}} =\left| \begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\cos t}{\sqrt{10}} & -\frac{3}{\sqrt{10}} & \frac{\sin t}{\sqrt{10}} \\ -\sin t & 0 & \cos t \end{matrix} \right| \\ &= -\frac{1}{\sqrt{10}} \left( 3\cos t, 1, 3\sin t\right). \end{align} \]