Divergens og curl

Greens teorem, Stokes' teorem og Gauss' divergensteorem er alle generaliseringer av analysens fundamentalteorem for dobbel- og trippelintegraler. I dette kapittelet skal vi se på egenskaper til vektorfelt som divergens og curl, og ved bruk av nevnte teoremer skal vi regne ut flateintegraler ved hjelp av linjeintegraler og volumintegraler ved hjelp av flateintegraler.

Divergens

Gitt et glatt vektorfelt

$$\textbf{F}(x,y,z)= (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))$$

så er divergensen til $\textbf{F}$ gitt ved

$$ \text{div} \, \textbf{F}(x,y,z)= \frac{\partial P}{\partial x}(x,y,z)+ \frac{\partial Q}{\partial y}(x,y,z)+ \frac{\partial R}{\partial z}(x,y,z)= \nabla \cdot \textbf{F}(x,y,z).$$

Curl

Curlen til et glatt vektorfelt $$\textbf{F}(x,y,z)= (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))$$ er gitt ved

$$ \textbf{curl} \, \textbf{F}(x,y,z)= \left( \frac{\partial R}{\partial y}- \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x}- \frac{\partial P}{\partial y} \right). $$

Man kan også uttrykke curlen ved determinanten

\[
\begin{vmatrix}
\textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end{vmatrix}.
\]

For et vektorfelt i to dimensjoner $F(x,y)= \left( P(x,y), Q(x,y )\right) $ defineres $\textbf{curl F}$ som

$$\textbf{curl F} = \left( 0,0, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right).$$