Linjeintegral av vektorfelt
La \(D\) være et åpent område i \(\mathbb{R}^n\), og la \(\mathbf{F} \colon D \to \mathbb{R}^n\) være et vektorfelt. Anta videre at \(\mathcal{C}\) er en glatt, orientert kurve gitt ved en parametrisering \(\mathbf{r}\).
Linjeintegralet av tangentkomponenten til vektorfeltet \(\mathbf{F}\) langs den orienterte kurven \(\mathcal{C}\) er definert som
\[ \int_{\mathcal{C}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} := \int_{\mathcal{C}} \mathbf{F} \cdot \hat{\mathbf{T}} \, ds = \int_{a}^{b} \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)\,dt \]
der høyresiden er linjeintegralet til skalarfeltet \(\mathbf{F} \cdot \hat{\mathbf{T}}\) hvor
\[\hat{\mathbf{T}} = \frac{\mathbf{r}'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|} \]
er enhetstangenten til \(\mathcal{C}\).
Merk at dette integralet avhenger av orienteringen: hvis vi skriver \(\overline{\mathcal{C}}\) for \(\mathcal{C}\) med omvendt orientering har vi \(\hat{\mathbf{T}}_{\overline{\mathcal{C}}} = -\hat{\mathbf{T}}_{\mathcal{C}}\) og dermed
\[ \int_{\overline{\mathcal{C}}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = - \int_{\mathcal{C}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}.\]
Hvis kurven \(\mathcal{C}\) er lukket kalles \(\int_{\mathcal{C}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\) for sirkulasjonen av \(\mathbf{F}\) langs \(\mathcal{C}\), og for å understreke dette brukes notasjonen
\[ \oint_{\mathcal{C}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} := \int_{\mathcal{C}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}. \]
Fysisk tolkning
Hvis \(\mathbf{F}\) er et kraftfelt på et område i \(\mathbb{R}^3\) er arbeidet gjort ved å flytte et objekt langs kurven \(\mathcal{C}\) gitt ved linjeintegralet
\[\int_{\mathcal{C}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}.\]
Linjeintegraler av konservative vektorfelt
La \(\mathbf{F} = \nabla \phi\) være et konservativt vektorfelt og la \(\mathcal{C}\) være en glatt orientert kurve med glatt parametrisering \(\mathbf{r} \colon [a,b] \to \mathbb{R}^n\). Da gir kjederegelen at
\[ \int_{\mathcal{C}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \phi(b) - \phi(a).\]
Dermed avhenger linjeintegralet til et konservativt vektorfelt kun av endepunktene til kurven \(\mathcal{C}\). Denne egenskapen karakteriserer de konservative vektorfeltene på \(D\) hvis dette området er åpent og sammenhengende: