Dobbeltintegraler
Vi kjenner til bestemte integraler fra analysen av énvariabelfunksjoner. Ved hjelp av Riemann-summer skal vi nå, på tilsvarende vis, definere det bestemte integralet for funksjoner av to variable. Vi ser deretter på teknikker for å regne ut dobbeltintegraler, deriblant iterert integrasjon og variabelskifter.
Det bestemte integralet
For en positiv énvariabelfunksjon \(f\) er det bestemte integralet \(\int_a^b f(x) \, dx\) lik arealet avgrenset av grafen til \(f\), linjene \(x=a\) og \(x=b\) og \(x\)-aksen. Vi finner dette arealet som grenseverdien
\[ \begin{align} \int_a^b f(x) \, dx &= \lim_{\|P\| \to 0} R (f,P) \\ &= \lim_{\|P\| \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i , \end{align} \]
der \(P=\{a=x_0 < x_1 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b \} \) er en partisjon av intervallet \([a,b]\), \(x_i^*\) er et vilkårlig punkt i \([x_{i-1}, x_i]\), \(\Delta x_i = |x_i-x_{i-1}|\) er lengden av delintervallet \([x_{i-1}, x_i]\), og normen \(\|P\|\) er definert som
\[\|P\|=\max_{1 \leq i \leq n} \Delta x_i .\]
Tilnærmingen \(R(f,P)\) til integralet for en gitt partisjon \(P\) kalles en Riemann-sum.
På tilsvarende vis kan vi definere det bestemte dobbeltintegralet av en funksjon \(f=f(x,y)\) av to variable over et rektangulært område \(R=[a,b]\times[c,d]\). Vi lager partisjoner
\[a=x_0 < x_1 < \cdots < x_{m-1} < x_m = b\]
og
\[c=y_0 < y_1 < \cdots < y_{n-1} < y_n=d\]
av intervallene \([a,b]\) og \([c,d]\), og definerer så en partisjon av \(R\),
\[P=\{ R_{ij} \, : \, 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n \},\]
som en oppdeling av \(R\) i rektangler \(R_{ij} = [x_{i-1}, x_i] \times [y_{i-1}, y_i]\).
Videre lar vi \(\Delta x_i =|x_i-x_{i-1}|\), \(\Delta y_j = |y_j-y_{j-1}|\) og \(\Delta A_{ij} = \Delta x_i \cdot \Delta y_j\). Normen til partisjonen \(P\) definerer vi som
\[\|P\| = \max_{\substack{1 \leq i \leq m \\ 1 \leq j \leq n}} \text{diag} (R_{ij}),\]
der \(\text{diag}(R_{ij})\) er lengden av diagonalen i rektangelet \(R_{ij}\).
I hvert av rektanglene \(R_{ij}\) velger vi så et vilkårlig punkt \((x_{ij}^*, y_{ij}^*)\), og definerer Riemann-summen \(R(f,P)\) som
\[R(f,P) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x_{ij}^*,y_{ij}^*) \Delta A_{ij}.\]
Vi definerer dobbeltintegralet av \(f\) over \(R\) som grensen
\[\lim_{\|P\| \to 0} R(f, P),\]
gitt at denne eksisterer og er uavhengig av hvordan vi velger punktene \((x_{ij}^*, y_{ij}^*)\).
Anta nå at funksjonen \(f=f(x,y)\) har en definisjonsmengde \(D_f\) som er lukket og begrenset, men ikke rektangulær. Vi kan da velge et rektangel \(R\) som inneholder \(D_f\), sette
\[\widehat{f}(x,y)= \begin{cases} f(x,y), &(x,y) \in D_f, \\ 0, &(x,y)\in R\setminus D_f ,\end{cases}\]
og definere dobbeltintegralet av \(f\) over \(D_f\) som
\[\iint_{D_f} f(x,y) \, dA = \iint_R \widehat{f}(x,y) \, dA ,\]
gitt at integralet på høyre side i denne ligningen eksisterer.