Ekstremalverdisetningen

Når vi skal lokalisere ekstremalpunkter (lokale eller globale) for en funksjon \(f=f(x,y)\) ser vi på gradienten \(\nabla f\) til funksjonen

\[\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right) .\]

Dette resultatet forteller oss hvor vi skal lete for å finne ekstremalverdier. Det garanterer imidlertid ikke at funksjonen faktisk har et globalt maksimum eller minimum i definisjonsmengden \(D_f\). Ekstremalverdisetningen gir tilstrekkelige betingelser for dette.

Her har vi valgt å la \(f\) være en funksjon av to variable, men begge teoremene ovenfor gjelder også for funksjoner \(f \, : \, \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) for vilkårlig \(n\geq 2.\)