Moment og massesenter
Hvis \(T\) er et legeme i \(\mathbb{R}^3\) med massetetthet (masse per volum) i punktet \((x,y,z)\) gitt ved funksjonen \(\delta(x,y,z)\), så er massen til \(T\) gitt ved trippelintegralet
\[ m = \iiint_{T} \delta(x,y,z)\, dV = \iiint_{T} dm \]
der vi til høyre bruker forkortelsen \(dm = \delta(x,y,z)\,dV\).
Momentene til \(T\) er da definert som følger:
- momentet om \(xy\)-planet er \[ M_{z=0} = M_{xy} = \iiint_{T} z\, dm = \iiint_{T} z\, \delta(x,y,z)\,dV,\]
- momentet om \(xz\)-planet er \[ M_{y=0} = M_{xz} = \iiint_{T} y \, dm = \iiint_{T} y\, \delta(x,y,z)\,dV,\]
- momentet om \(yz\)-planet er \[ M_{x=0} = M_{yz} = \iiint_{T} x \, dm = \iiint_{T} x\, \delta(x,y,z)\,dV.\]
Massesenteret til legemet \(T\) er da punktet \((\overline{x}, \overline{y},\overline{z})\) definert ved
\[ \begin{align} \overline{x} & = \frac{M_{yz}}{m} = \frac{1}{m} \iiint_{T} x\,dm = \frac{1}{m} \iiint_{T} x \cdot \delta(x,y,z) \,dV,\\ \overline{y} &= \frac{M_{xz}}{m} = \frac{1}{m} \iiint_{T} y\,dm = \frac{1}{m} \iiint_{T} y \cdot \delta(x,y,z) \,dV, \\ \overline{z} & = \frac{M_{xy}}{m}= \frac{1}{m} \iiint_{T} z\,dm = \frac{1}{m} \iiint_{T} z \cdot \delta(x,y,z) \,dV. \end{align} \]