Ekstremalverdier for funksjoner av flere variable

Begrepet ekstremalverdi er kjent fra analysen av énvariabelfunksjoner, og defineres analogt for funksjoner av flere variable. I dette kapittelet ser vi på klassifikasjon av såkalte kritiske punkter, og går gjennom ulike metoder for å finne ekstremalverdier for en flervariabelfunksjon.

Lokale ekstremalverdier

La \(f=f(x,y)\) være en funksjon av to variable med definisjonsmengde \(D_f\). Vi sier at \((a,b)\in D_f\) er et lokalt maksimumspunkt dersom

\[f(a,b) \geq f(x,y)\]

for alle \((x,y) \in D_f\) i nærheten av \((a,b)\). Vi sier at \((a,b)\) er et lokalt minimumspunkt dersom

\[f(a,b) \leq f(x,y)\]

for alle \((x,y) \in D_f\) i nærheten av \((a,b)\).

Lokale maksimumspunkter (sentrum i de røde sirklene) og minimumspunkter (sentrum i de blå sirklene) for en funksjon \(f\) av to variable.

Globale ekstremalverdier

La \(f=f(x,y)\) være en funksjon av to variable med definisjonsmengde \(D_f\). Vi sier at \((a,b) \in D_f\) er et globalt maksimumspunkt for funksjonen dersom

\[f(a,b) \geq f(x,y)\]

for alle \((x,y) \in D_f\). Vi sier at \((a,b) \in D_f\) er et globalt minimumspunkt for funksjonen dersom

\[f(a,b) \leq f(x,y)\]

for alle \((x,y) \in D_f\).

Funksjonen \(f\) har et globalt maksimumspunkt (markert i rødt) og et globalt minimumspunkt (markert i blått) på sirkelskiven som utgjør definisjonsmengden \(D_f\).