Orienterte flater og fluksintegral

En glatt flate \(\mathcal{S}\) er orienterbar hvis det finnes et kontinuerlig vektorfelt \(\hat{\mathbf{N}}\) på \(\mathcal{S}\) som består av enhetsnormaler, altså slik at \(\hat{\mathbf{N}}(\mathbf{p})\) er normal til tangentplanet til \(\mathcal{S}\) i punktet \(\mathbf{p}\) og \(|\hat{\mathbf{N}}(\mathbf{p})| = 1\). Et slikt vektorfelt kalles en orientering av \(\mathcal{S}\), og en orientert flate er en flate utstyrt med en valgt orientering.

En sammenhengende orienterbar flate har alltid nøyaktig to mulige orienteringer; hvis \(\hat{\mathbf{N}}\) er en av dem er \(-\hat{\mathbf{N}}\) den andre.

Merk at en orientering av \(\mathcal{S}\) også gir en orientering av randen av \(\mathcal{S}\) som en kurve.

Hvis \(\mathbf{r} \colon R \to \mathbb{R}^3\) er en parametrisering av flaten \(\mathcal{S}\) ligger vektorene \(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}(u,v)\) og \(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}(u,v)\) i tangentplanet til \(\mathcal{S}\) i punktet \(\mathbf{r}(u,v)\). Dersom de ikke er parallelle er da kryssproduktet \( \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}(u,v) \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}(u,v) \) en normalvektor til tangentplanet. Det betyr at hvis \(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \neq \mathbf{0}\) på \(\mathcal{S}\), så er

\[ \frac{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}}{\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right|} \]

en orientering av \(\mathcal{S}\), og det samme er

\[ -\frac{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}}{\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right|}. \]

La \((\mathcal{S}, \hat{\mathbf{N}})\) være en orientert flate, og la \(\mathbf{F}\) være et kontinuerlig vektorfelt på \(\mathcal{S}\). Da er flateintegralet av \(\mathbf{F}\) over \(\mathcal{S}\) definert som

\[ \iint_{\mathcal{S}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S} := \iint_{\mathcal{S}} \mathbf{F} \cdot \hat{\mathbf{N}} \, dS, \]

der høyresiden er flateintegralet av funksjonen \(\mathbf{F} \cdot \hat{\mathbf{N}} \colon \mathcal{S} \to \mathbb{R}\). Dette kalles også for fluksen av \(\mathbf{F}\) gjennom \(\mathcal{S}\) eller fluksintegralet av \(\mathbf{F}\) over \(\mathcal{S}\).

Hvis \(\mathcal{S}\) er parametrisert ved \(\mathbf{r} \colon R \to \mathbb{R}^3\) og orienteringen \(\hat{\mathbf{N}}\) er gitt ved \( \frac{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}}{\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right|} \) kan vi skrive

\[ d \mathbf{S} = \hat{\mathbf{N}} \, dS = \frac{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}}{\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right|} \cdot \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right|\,du\,dv = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\,du\,dv. \]

Dette gir følgende uttrykk for flateintegralet av \(\mathbf{F}\) som et dobbeltintegral:

\[ \iint_{\mathcal{S}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S} = \iint_{\mathcal{S}} \mathbf{F} \cdot \hat{\mathbf{N}} \, dS = \iint_{R} \mathbf{F} \cdot \left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right)\,du\,dv.\]

Det er denne formelen vi bruker for å regne ut flateintegraler i praksis - merk spesielt at vi ikke trenger å regne ut enhetsvektoren \(\hat{\mathbf{N}}\).