Noen grunnleggende begreper

En mengde er en samling av elementer. Hvis \(A\) er en mengde og \(a\) er et element av \(A\) skriver vi

\[a \in A\]

("\(a\) er i \(A\)"). Hvis derimot \(a\) ikke er et element av \(A\) skriver vi \[ a \notin A.\]

Vi skriver \[\mathbb{N}, \mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}\]

for mengdene som består av hendholdsvis de naturlige tallene (0,1,...), heltallene, de rasjonale tallene, og de reelle tallene.

Hvis alle elementene i en mengde \(B\) også er elementer i \(A\) sier vi at \(B\) er en undermengde av \(A\) og skriver

\[B \subseteq A.\]

Om \(\phi(a)\) er et utsagn som er sant eller usant for \(a \in A\) skriver vi

\[ \{a \in A \mid \phi(a)\} \]

(eller \(\{a \in A : \phi(a)\}\), "mengden av \(a\) i \(A\) slik at \(\phi(a)\)") for undermengden av \(A\) som inneholder de elementene \(a\) slik at \(\phi(a)\) er sant. For eksempel kan vi skrive \(\{x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \}\) for mengden av positive reelle tall.

Gitt to mengder \(A,B\) er produktet \(A \times B\) mengden av ordnede par \((a,b)\) hvor \(a \in A, b \in B\). Mer generelt kan vi si at produktet \(A_{1} \times \cdots \times A_{n}\) av mengder \(A_{1},\ldots,A_{n}\) består av ordnede lister \((a_1,\ldots,a_n)\) der \(a_i\) er et element av \(A_i\) for \(i=1,\ldots,n\).

Vi kan nå definere de viktigste mengdene i dette emnet:

Vi tenker ofte på \(\mathbb{R}^2\) og \(\mathbb{R}^3\) som mengdene av punkter i henholdsvis planet og rommet, angitt med kartesiske koordinater. På samme måte er \(\mathbb{R}^n\) mengden av punkter i et \(n\)-dimensjonalt rom.

Hvis \(A\) og \(B\) er mengder angir en funksjon \(f\) fra \(A\) til \(B\) et unikt element \(f(a) \in B\) for hvert element \(a \in A\). For å uttrykke at \(f\) er en funksjon fra \(A\) til \(B\) skriver vi ofte

\[f \colon A \to B.\]

Gitt funksjoner \(f \colon A \to B\) og \(g \colon B \to C\) er komposisjonen \(g \circ f \colon A \to C\) funksjonen som er gitt ved

\[ (g \circ f)(a) = g(f(a))\]

for \(a \in A\).