Partiellderivasjon

Partiellderiverte

De partiellderiverte av \(f(x,y)\) med hensyn på hendholdsvis \(x\) og \(y\) er

\[ \begin{align} \frac{\partial f (x,y)}{\partial x } &=f_x = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h,y)- f(x,y)}{h}, \\ \frac{\partial f (x,y)}{\partial y } &=f_y =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x,y+h)- f(x,y)}{h}. \end{align} \]

Av definisjonen ser vi at vi beholder \(y\) som er konstant når vi deriverer med hensyn på \(x\) og vica versa når vi deriverer med hensyn på \(y\).

Definisjonen er tilsvarende for flere variable. Vi kaller vektoren \(\nabla f\) bestående av partiellderiverte til \(f\) gradienten til \(f\), og skriver

$$ \nabla f ( \textbf{x}) = \left( f_{x_1} (\textbf{x}), f_{x_2} (\textbf{x}),...f_{x_n} (\textbf{x}) \right).$$

Tangentplan og normalvektor

Ligningen for tangentplanet til \(z= f(x,y) \) i punktet \( (a,b,f(a,b))\) er gitt ved

$$ z= f(a,b) + f_x (a,b) (x-a) + f_y(a,b) (y-b).$$

Normalen til \(z = f(x,y) \) i punktet \( (a,b) \) er gitt ved

$$ \textbf{n} = \left( f_x (a,b), f_y (a,b), -1 \right).$$

Illustrasjon av tangentplanet til en funksjon av to variable.

Høyere ordens partiellderiverte

Partiellderiverte av andre og høyere orden finnes ved å partiellderivere de partiellderiverte. En funksjon av to variable kan ha fire forskjellige partiellderiverte av andre orden,

\[ \begin{align} & \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial }{\partial x} \frac{\partial f}{\partial x} = f_{xx} \\ &\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial }{\partial x} \frac{\partial f}{\partial y} = f_{yx} \\ &\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial }{\partial y} \frac{\partial f}{\partial x} = f_{xy} \\ &\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial }{\partial y} \frac{\partial f}{\partial y} = f_{yy}. \end{align} \]

Dersom funksjonen \(f\) har kontinuerlige partiellderiverte opp til andre orden er \(f_{xy}= f_{yx} \).

Kjerneregelen

Hvis \(z\) er en funksjon av \(x\) og \(y\) med kontinuerlige førsteordens deriverte og dersom \(x\) og \(y\) er deriverbare funksjoner av \(t\), så er

$$ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}.$$