Enhetstangent, enhetsnormal og krumning

La \(\mathbf{r}(t)\) være en glatt parametrisering av en kurve \(\mathcal{C}\), og la \(\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)\) og \(v(t)=|\mathbf{v}(t)|\).

Enhetstangent

Enhetstangenten \(\mathbf{\hat{T}}(t)\) til \(\mathcal{C}\) i et punkt \(\mathbf{r}(t)\) tangerer kurven i punktet, og er gitt ved

\[\mathbf{\hat{T}}(t)=\frac{\mathbf{v}(t)}{v(t)} .\]

Enhetstangenten \(\mathbf{\hat{T}}\) tangerer kurven.

Krumning

Krumningen til \(\mathcal{C}\) i et punkt \(\mathbf{r}(t)\) er et mål på hvor mye kurven krummer vekk fra tangentlinjen til kurven i det aktuelle punktet. Denne er gitt ved

\[\kappa (t) = \frac{\left| \mathbf{\hat{T}}'(t)\right|}{v(t)} .\]

Enhetsnormal

Enhetsnormalen til \(\mathcal{C}\) i et punkt \(\mathbf{r}(t)\) står normalt på kurven i punktet, og peker i den retningen kurven krummer. Denne er gitt ved

\[\mathbf{\hat{N}}(t) = \frac{\mathbf{\hat{T}}'(t)}{\left| \mathbf{\hat{T}}'(t)\right|} .\]

Enhetsnormalen er kun definert dersom \(\mathbf{\hat{T}}'(t) \neq 0\) (eller tilsvarende hvis krumningen er ulik null).

Enhetsnormalen \(\mathbf{\hat{N}}\) står normalt på \(\mathcal{C}\), og peker i den retningen kurven krummer.

Smygsirkel

Smygsirkelen til \(\mathcal{C}\) i et punkt \(\mathbf{r}(t)\) er sirkelen som skjærer kurven i punktet, og som har samme enhetstangent, enhetsnormal og krumning som kurven i dette punktet. Radien til smygsirkelen er gitt ved

\[r = \frac{1}{\kappa(t)} .\]

Smygsirkelen til kurven \(\mathcal{C}\) i et punkt.

For en kurve i rommet ligger smygsirkelen i planet spent ut av \(\mathbf{\hat{T}}\) og \(\mathbf{\hat{N}}\). Dette kalles smygplanet til kurven. Normalvektoren til smygplanet, gitt ved

\[\mathbf{\hat{B}} = \mathbf{\hat{T}} \times \mathbf{\hat{N}}, \]

kalles binormalen.