Enhetstangent, enhetsnormal og krumning

La \(\mathbf{r}(t)\) være en glatt parametrisering av en kurve \(\mathcal{C}\), og la \(\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)\) og \(v(t)=|\mathbf{v}(t)|\).

Enhetstangent

Enhetstangenten \(\mathbf{\hat{T}}(t)\) til \(\mathcal{C}\) i et punkt \(\mathbf{r}(t)\) tangerer kurven i punktet, og er gitt ved

\[\mathbf{\hat{T}}(t)=\frac{\mathbf{v}(t)}{v(t)} .\]

Enhetstangenten \(\mathbf{\hat{T}}\) tangerer kurven.

Krumning

Krumningen til \(\mathcal{C}\) i et punkt \(\mathbf{r}(t)\) er et mål på hvor mye kurven krummer vekk fra tangentlinjen til kurven i det aktuelle punktet. Denne er definert som

\[\kappa (t) = \frac{\left| \mathbf{\hat{T}}'(t)\right|}{v(t)},\]

men denne formelen kan være ganske upraktisk for å regne ut krumningen.

Enhetsnormal

Enhetsnormalen til \(\mathcal{C}\) i et punkt \(\mathbf{r}(t)\) står normalt på kurven i punktet, og peker i den retningen kurven krummer. Denne er gitt ved

\[\mathbf{\hat{N}}(t) = \frac{\mathbf{\hat{T}}'(t)}{\left| \mathbf{\hat{T}}'(t)\right|} .\]

Enhetsnormalen er kun definert dersom \(\mathbf{\hat{T}}'(t) \neq 0\) (eller tilsvarende hvis krumningen er ulik null).

Enhetsnormalen \(\mathbf{\hat{N}}\) står normalt på \(\mathcal{C}\), og peker i den retningen kurven krummer.

Smygsirkel

Smygsirkelen til \(\mathcal{C}\) i et punkt \(\mathbf{r}(t)\) er sirkelen som skjærer kurven i punktet, og som har samme enhetstangent, enhetsnormal og krumning som kurven i dette punktet. Radien til smygsirkelen er gitt ved

\[r = \frac{1}{\kappa(t)} .\]

Smygsirkelen til kurven \(\mathcal{C}\) i et punkt.

For en kurve i rommet ligger smygsirkelen i planet spent ut av \(\mathbf{\hat{T}}\) og \(\mathbf{\hat{N}}\). Dette kalles smygplanet til kurven. Normalvektoren til smygplanet, gitt ved

\[\mathbf{\hat{B}} = \mathbf{\hat{T}} \times \mathbf{\hat{N}}, \]

kalles binormalen.

Krumning i \(\mathbb{R}^3\)

Anta at \(\mathcal{C}\) er en kurve i rommet. Siden \(\mathbf{v} = v \hat{\mathbf{T}}\) har vi

\[ \mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d v}{dt}\hat{\mathbf{T}} + v \frac{d \hat{\mathbf{T}}}{dt} .\]

Hvis vi bruker at \(\hat{\mathbf{T}}' = \left|\hat{\mathbf{T}}'\right| \, \hat{\mathbf{N}} = \kappa v \hat{\mathbf{N}}\) får vi

\[ \mathbf{a} = \frac{d v}{dt}\hat{\mathbf{T}} + \kappa v^2 \hat{\mathbf{N}}.\]

Her ser vi at krumningen beskriver den delen av akselerasjonen som er normal til kurven. Tar vi kryssproduktet med \(\mathbf{v}\) får vi

\[ \mathbf{v} \times \mathbf{a} = (v \hat{\mathbf{T}}) \times \left(\frac{d v}{dt}\hat{\mathbf{T}} + \kappa v^2 \hat{\mathbf{N}}\right) = \kappa v^3 \hat{\mathbf{B}}.\]

Siden binormalen \(\hat{\mathbf{B}}\) er en enhetsvektor får vi følgende nyttige uttrykk for krumningen:

\[ \kappa = \frac{|\mathbf{v} \times \mathbf{a}|}{v^3}.\]