Dobbeltintegraler i polarkoordinater

Enkelte ganger kan et dobbeltintegral \(\iint_D f(x,y) \, dA\) være enklere å uttrykke i polarkoordinater \((r, \theta)\) enn i kartesiske koordinater \((x,y)\); dette kan skyldes at integrasjonsområdet \(D\) er enklere å uttrykke i polarkoordinater, eller at integranden \(f(x,y)\) er enklere å integrere som funksjon av \(r\) og \(\theta\). Vi ser på et eksempel:

Anta at vi ønsker å finne volumet av legemet avgrenset av paraboloiden \(z=1-x^2-y^2\) og \(xy\)-planet. Dette volumet er gitt ved

\[ \begin{align} V&=\iint_{x^2+y^2 \leq 1} (1-x^2-y^2) \, dA \\ &= \int_{-1}^1 \left( \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} (1-x^2-y^2) \, dy \right) dx . \end{align} \]

Om vi gjør et skifte til polarkoordinater, får vi

\[V = \iint_{r \leq 1}(1-r^2) \, dA .\]

Dette ser ut som et mer håndterlig integral, gitt at vi klarer å uttrykke (det infinitesimale) arealelementet \(dA\) ved hjelp av \(d\theta\) og \(dr\).

I kartesiske koordinater har vi at \(dA=dx \, dy.\)

Arealelementet \(dA=dx \, dy\).

I polarkoordinater er \(dA\) arealet av sirkelsektoren fra \(\theta\) til \(\theta+d\theta\), avgrenset i radius av \(r\) og \(r+dr\).

Arealelementet \(dA=r\, dr d\theta\).

En tilstrekkelig god tilnærming til \(dA\) er arealet av et rektangel med sidelengder \(r\, d\theta\) og \(dr\). Dermed får vi

\[dA = r \, dr \, d\theta .\]

Vender vi tilbake til volumet \(V\), finner vi at

\[ \begin{align} V &= \iint_{r\leq 1} (1-r^2) \, dA \\ &=\int_0^{2\pi} \left( \int_0^1 (1-r^2)r \, dr\right) \, d\theta \\ &=\left( \int_0^{2\pi} \, d\theta \right) \cdot \left[\frac{1}{2}r^2-\frac{1}{4}r^4 \right]_0^1 \\ &= 2\pi \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right) = \frac{\pi}{2} . \end{align} \]

Altså er volumet av legemet \(\pi/2.\)

Når vi skifter fra kartesiske koordinater \((x,y)\) til polarkoordinater \((r, \theta)\) i et dobbeltintegral \(\iint_D f(x,y) \, dA\), gjennomfører vi ganske enkelt et variabelskifte i integralet, hvor vi setter

\[ \begin{align} x&= r \cos \theta, \\ y&= r \sin \theta. \end{align} \]

Dette er analogt med hvordan vi noen ganger bruker substitusjon i integraler av énvariabelfunksjoner. Du kan lese mer om variabelskifter i dobbeltintegraler her.