Lagranges multiplikatormetode

Vi ser nå på en metode for å maksimere eller minimere en funksjon \(f(x,y)\) gitt en eller annen bibetingelse \(g(x,y)=0\). Som et eksempel, la oss si at vi vil finne korteste avstand fra origo til kurven gitt ved \(x^2y=16\). Dette kan vi formulere matematisk som at vi vil

\[ \begin{align} \textbf{minimere } \quad &f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} \\ \textbf{ gitt } \quad &g(x,y)=x^2y-16 = 0. \end{align} \]

Følgende resultat gir oss et verktøy for å løse denne typen problemer.

Dette teoremet forteller oss at hvis vi vil maksimere eller minimere \(f\) på kurven \(\mathcal{C}\), så kan vi lete etter kritiske punkter for Lagrangefunksjonen

\[L(x,y,\lambda) = f(x,y)-\lambda g(x,y),\]

det vil si punkter \((x,y,\lambda)\) hvor

\[ \begin{align} 0&=\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) + \lambda \frac{\partial g}{\partial x}(x,y) \\ 0&=\frac{\partial L}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) + \lambda \frac{\partial g}{\partial y}(x,y) \\ 0&=\frac{\partial L}{\partial \lambda} = g(x,y). \end{align} \]

Den siste av disse betingelsene forteller oss at punktet \((x,y)\) ligger på kurven \(\mathcal{C}\), mens de to første impliserer at vektorene \(\nabla f(x,y)\) og \(\nabla g(x,y)\) er parallelle. I eksempelet Minste avstand fra origo til kurve har vi anvendt Lagranges multiplikatormetode på det spesifikke eksempelet nevnt ovenfor.

Lagranges multiplikatormetode kan også brukes for funksjoner av flere variable, samt funksjoner underlagt flere bibetingelser. Vi kan for eksempel ønske å

\[ \begin{align} \textbf{maksimere} \quad &f(x,y,z), \\ \textbf{gitt} \quad &g(x,y,z)= 0, \\ \textbf{og} \quad &h(x,y,z)=0. \end{align} \]

I så fall finner vi de kritiske punktene til Lagrangefunksjonen

\[L(x,y,z,\lambda, \mu) = f(x,y,z)+\lambda g(x,y,z)+\mu h(x,y,z) , \]

og analyserer disse.