Uegentlige integraler

Uegentlige integraler oppstår når integranden og/eller integrasjonsområdet er ubegrenset. Vi ser på to eksempler.

Integral over et ubegrenset område

La oss si at vi ønsker å integrere funksjonen \(f(x,y)=e^{-x-y}\) over det ubegrensede området

\[D= \left\{ (x,y) \, : \, x \geq 0, \, y \geq 0 \right\}.\]

På området \(D\) er \(f\) en positiv, begrenset funksjon som oppfyller \(0 < f(x,y) \leq 1.\)

Integrasjonsområdet \(D\).

Vi definerer det uegentlige integralet \(\iint_{D} f(x,y) \, dA\) som

\[\iint_D f(x,y) \, dA = \lim_{M\to \infty} \iint_{D_M} f(x,y) \, dA ,\]

der

\[D_M=\left\{ (x,y) \, : \, 0 \leq x \leq M , \, 0 \leq y \leq M \right\} .\]

Dersom denne grensa eksisterer, sier vi at det uegentlige integralet konvergerer.

Området \(D_M\) er lukket og begrenset, så ved iterert integrasjon får vi

\[ \begin{align} \iint_{D_M} e^{-x-y} \, dA &= \int_0^M \int_0^M e^{-x} e^{-y} \, dx dy \\ &= \left( \int_0^M e^{-x} \, dx \right) \cdot \left( \int_0^M e^{-y} \, dy \right) \\ &= \left( 1-e^{-M}\right)^2 . \end{align} \]

Det følger at

\[\iint_D f(x,y) \, dA = \lim_{M \to \infty} \left( 1-e^{-M}\right)^2 = 1.\]

Altså konvergerer det uegentlige integralet og tar verdien \(1\).

Integral av en ubegrenset funksjon

Anta nå at vi ønsker å integrere funksjonen \(f(x,y)=1/(x+y)^2\) over området

\[D= \left\{ (x,y) \, : \, 0 \leq x \leq 1 , \, 0 \leq y \leq x^2 \right\} .\]

Integrasjonsområdet \(D\).

Dette er et uegentlig integral, da \(f(x,y) \to \infty\) når \((x,y) \to (0,0) \in D\). Vi definerer \(\iint_D f(x,y) \, dA\) som

\[\iint_D f(x,y) \, dA = \lim_{\varepsilon \to 0} \iint_{D_{\varepsilon}} f(x,y) \, dA ,\]

der

\[D_{\varepsilon} = \left\{ (x,y) \, : \, \varepsilon \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq x^2 \right \} .\]

Dersom denne grensen eksisterer, sier vi at det uegentlige integralet konvergerer.

Ved iterert integrasjon har vi at

\[ \begin{align} \iint_{D_{\varepsilon}} \frac{1}{(x+y)^2} \, dA &= \int_{\varepsilon}^1 \left( \int_0^{x^2} \frac{1}{(x+y)^2} \, dy\right) dx \\ &=\int_{\varepsilon}^1 \left[ - \frac{1}{x+y}\right]_{y=0}^{y=x^2} \, dx \\ &= \int_{\varepsilon}^1 \left( \frac{1}{x}- \frac{1}{x+x^2}\right) dx \\ &=\int_{\varepsilon}^1 \frac{1}{x+1} \, dx = \left[ \ln (x+1)\right]_{\varepsilon}^1 \\ &= \ln 2 - \ln (1+\varepsilon) . \end{align} \]

Altså er

\[\iint_D f(x,y) \, dA = \lim_{\varepsilon \to 0} \left( \ln 2 - \ln (1+\varepsilon)\right) = \ln 2 .\]

Eksempelet Et uegentlig integral som divergerer illustrerer at dersom vi integrerer den samme funksjonen \(f(x,y)\) over et annet, begrenset område som inneholder origo, så kan integralet divergere.