Funksjoner av flere variable

En funksjon av flere variable er en funksjon som avhenger av flere enn en variabel. I dette kapittelet skal vi jobbe med grenseverdier, kontinuitet og partiellderivasjon for flervariable funksjoner. Vi vil også se på hvordan vi kan visualisere disse ved hjelp av nivåkurver.

Flervariable funksjoner

La \( D_f \subset \mathbf{R}^n\). Vi sier at \( f: D_f \rightarrow \mathbf{R}^n \) er en funksjon av \(n\) uavhengige variabler dersom det for hver \( \textbf{x} \in D_f\) tilordnes et unikt tall \(y \in \mathbf{R}\),

$$ f(\textbf{x}) = f(x_1,x_2,...,x_n)=y.$$

Vi vil se på flest eksempler der vi har to eller tre variable. Når funksjonen \(f\) avhenger av to eller tre variable, vil vi kalle variablene for \(x\), \(y\) og \(z\).

Vi kaller \(D_f\) for definisjonsmengden til \(f\) og

$$V_f= \{ f(\textbf{x}) : \textbf{x} \in D_f \}$$

er verdimengden til \(f\).

Grafer og nivåkurver

Grafen til \(z=f(x,y)\) er mengden

$$ \{(x,y,f(x,y)) \in \mathbf{R}^3 : (x,y) \in D \}.$$

Dette er samme definisjon som vi brukte når \(f\) var en funksjon av én variabel, og vi så på punktene i \(xy\)-planet med koordinater \((x, f(x))\).

For et gitt tall \(C \in V_f\) kaller vi kurven gitt ved

$$C = f(x,y) $$

nivåkurven til \(f\) i høyde \(C\). Merk at vi ikke kan si noe om hvor glatt kurven til \(f\) er ut fra hvor glatt nivåkurven er. Siden nivåkurven er gitt i punkter der \(f\) er definert, er den alltid inneholdt i \(D_f\). Dersom \(f\) er avhengig av tre variable, kaller vi \(C=f(x,y,z)\) for nivåflaten til \(f\).

I figuren over er \(f\) en funksjon av to variable.