Regneregler for gradient, curl og divergens

La \(\phi\) og \(\psi\) være skalarfelt, og la \(\mathbf{F}\) og \(\mathbf{G}\) være vektorfelt. Anta videre at alle deriverte som inngår i uttrykkene nedenfor er kontinuerlige. Da gjelder

\(\nabla(\phi\psi) = \phi\nabla\psi + \psi \nabla \phi\).
\(\nabla \cdot (\phi\mathbf{F}) = (\nabla \phi)\cdot \mathbf{F} + \phi(\nabla\cdot \mathbf{F}) \).
\(\nabla \times (\phi\mathbf{F}) =(\nabla\phi)\times \mathbf{F} + \phi (\nabla\times \mathbf{F}) \).
\(\nabla\cdot (\mathbf{F}\times \mathbf{G} ) = (\nabla\times \mathbf{F})\cdot \mathbf{G} - \mathbf{F} \cdot (\nabla \times \mathbf{G} ) \).
\(\nabla \times (\mathbf{F}\times \mathbf{G}) = (\nabla\cdot \mathbf{G})\mathbf{F} + (\mathbf{G}\cdot \nabla)\mathbf{F}-(\nabla\cdot \mathbf{F})\mathbf{G} - (\mathbf{F}\cdot\nabla)\mathbf{G}\).
\(\nabla(\mathbf{F}\cdot\mathbf{G}) = \mathbf{F}\times (\nabla \times \mathbf{G}) + \mathbf{G}\times (\nabla\times \mathbf{F}) + (\mathbf{F}\cdot\nabla)\mathbf{G} + (\mathbf{G}\cdot\nabla)\mathbf{F}\).
\(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F}) = 0 \quad\quad \).
\(\nabla\times(\nabla\phi) = \mathbf{0} \quad \quad \).
\(\nabla\times(\nabla\times\mathbf{F}) = \nabla(\nabla\cdot \mathbf{F})-\nabla^2\mathbf{F} \).

Konsekvenser

Teoremet over har konsekvenser for for vektorfelt som er curl-fritt eller divergens-fritt.

Dersom \( \textbf{F}\) er konservativt, \(\textbf{F} = \nabla \phi \) for en skalarfunksjon \( \phi\), så er \( \textbf{curl F} =0.\) Dette følger av regneregel 8.
Curl til ethvert vektorfelt er divergensfritt. Hvis \( \textbf{F}= \textbf{curl G} \) så er \( \text{div} \, \textbf{F}=0. \) Dette følger av regneregel 7.

Under noen antagelser på området \( D\) hvor \( \textbf{F}\) er definert får vi også de motsatte implikasjonene: