Curl integral over sfære
Eksempel
Finn \( \iint_S \textbf{curl F}\cdot \hat{\textbf{N}} \, dS \) der \(S\) er den øvre halvkule \( x^2 + y^2 +z^2 =1, z \geq 0\) og \( \hat{\textbf{N}}\) peker ut av legemet. Her er $$\textbf{F}(x,y,z)= \left( 3y, -2xz, x^2 - y^2 \right).$$
Vi skal løse oppgaven med fire forskjellige tankesett. La \( S'\) være bunnen av \(S\) gitt ved \( z=0, x^2 + y^2 =1\). Randen \(C\) av \(S\) er sirkelen \( x^2 +y^2 =1\) i \(xy\) planet orientert mot klokka når vi ser fra den positive \(z\)-aksen. Dette er også randen til \(S'\) med normalvektor \(\hat{\textbf{N}}=(0,0,1)\). Ved å bruke Stokes' teorem to ganger får vi
\[ \begin{align} \iint_S \textbf{curl F}\cdot \hat{\textbf{N}} \, dS = \oint_C \textbf{F}\cdot d\textbf{r} = \oint_{S'} \textbf{curl F} \cdot (0,0,1) \, dA. \end{align} \]
Ved å regne ut \(z-\) komponenten til \( \textbf{curl F}\) og huske at på \( S'\) er \(z=0\) får vi
\[ \begin{align} \iint_S \textbf{curl F}\cdot \hat{\textbf{N}} \, dS = -3 \iint_D dA = - 3\pi. \end{align} \]
Vi kan også regne ut linjeintegralet \( \oint_C \textbf{F}\cdot d\textbf{r}\). På \(C \) er \(z=0\) og \( x=\cos \theta, y= \sin \theta\) med \( 0\leq \theta \leq 2\pi\) og vi kan regne ut
\[ \begin{align} \iint_S \textbf{curl F}\cdot \hat{\textbf{N}} \, dS &= \int_0^{2\pi} \left( 3 \sin \theta, 0, \cos^2 \theta- \sin^2 \theta\right) \cdot \left( - \sin \theta, \cos \theta, 0 \right) \, d\theta =-3\pi. \end{align} \]
Ved å huske at div \( \textbf{curl F} =0 \) for et glatt vektorfelt \(F\) kan vi bruke Divergensteoremet på \( \textbf{curl F}\). La \(T\) være legemet innenfor \(S\). Vi har
\[ \begin{align} 0= \iiint_T \text{div} \, \textbf{curl F} \, dV = \iint_S \textbf{curl F} \cdot \hat{\textbf{N}} \, dS + \iint_{S'} \textbf{curl F} \cdot (0,0,-1) \, dA. \end{align} \]
Som ved den første metoden får vi
\[ \begin{align} \iint_S \textbf{curl F} \cdot \hat{\textbf{N}} \, dS = -3 \iint_{S'} dA = -3\pi. \end{align} \]
Den siste metoden vi skal se på er å gjøre utregningen direkte. Vi har \( \textbf{curl F} = (-2y+2x,-2x,-2z-3) \) og vi parametriserer \(S\) med \( x= \sin \phi \cos \theta, y= \sin \phi \sin \theta, z= \cos \phi\) der \(0 \leq \theta \leq 2\pi, 0\leq \phi \leq \frac{\pi}{2}.\) Vi har
\[ \begin{align} \textbf{curl F} \cdot \hat{\textbf{N}} \, dS &= \left( -2\sin \phi \sin \theta + 2\sin \phi \cos \theta, -2\sin \phi \cos \theta, -2\cos \phi -3 \right ) \cdot \left( \sin^2 \phi \cos \theta, \sin^2 \phi \sin \theta, \sin \phi \cos \phi \right) \\ &= -4 \sin^3 \phi \sin \theta \cos \theta + 2\sin^3 \phi \cos^2 \theta -2 \cos^2 \phi \sin \phi -3 \sin \phi \cos \phi. \end{align} \]
Ved å integrere først i \( \theta\) får vi
\[ \begin{align} \textbf{curl F} \cdot \hat{\textbf{N}} \, dS = 2\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 \phi \, d\phi - 4\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \phi \sin \phi \, d\phi - 6\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin \phi \cos \phi \, d\phi = -3\pi. \end{align} \]
