Valg av integrasjonsrekkefølge
Eksempel
Vi vil finne integralet av funksjonen \(f(x,y)=y^2e^{-x^2}\) over trekanten \(D\subset \mathbb{R}^2\) med hjørner i \((0,0)\), \((1,1)\) og \((1,2)\).
Løsning
Området \(D\) er illustrert i figuren under.
Vi ser at \(D\) er både \(x\)-enkelt og \(y\)-enkelt, og vi kan derfor evaluere \(\iint_D f(x,y) \, dA\) som et iterert integral. Om vi prøver å integrere først med hensyn på \(x\), finner vi at
\[ \begin{align} I &= \iint_D f(x,y) \, dA \\ &= \int_0^2 \left(\int_{a(y)}^{b(y)} y^2e^{-x^2} \, dx \right) dy \\ &= \int_0^2 y^2 \left( \int_{a(y)}^{b(y)} e^{-x^2} \, dx \right) dy. \end{align} \]
Vi vet at det indre integralet \(\int e^{-x^2} \, dx\) er vanskelig å løse analytisk med de integrasjonsteknikkene vi kjenner fra analysen av énvariabelfunksjoner. La oss derfor heller prøve å bytte integrasjonsrekkefølge. Om vi fikserer en \(0\leq x \leq 1\), ser vi at \(x \leq y \leq 2x\). Dermed får vi
\[ \begin{align} I &= \int_0^1 \left( \int_x^{2x} y^2e^{-x^2} \, dy \right) dx \\ &= \int_0^1 e^{-x^2} \left( \int_x^{2x} y^2 \, dy \right) dx \end{align} \]
Det indre integralet blir
\[\int_x^{2x} y^2 \, dy = \frac{1}{3} \left( (2x)^3-x^3\right) = \frac{7}{3}x^3 ,\]
og vi får
\[I = \frac{7}{3} \int_0^1 x^3e^{-x^2} \, dx .\]
Bruker vi substitusjonen \(u=x^2\), finner vi at
\[ \begin{align} I&= \frac{7}{3} \cdot \frac{1}{2} \int_0^1 ue^{-u} du \\ &=\frac{7}{6} \left( \left[ -ue^{-u}\right]_0^1+\int_0^1 e^{-u} \, du \right) \\ &= \frac{7}{6} \left( -e^{-1}+ (-e^{-1}+1)\right) \\ &=\frac{7}{6}\left(1-2e^{-1}\right). \end{align} \]