Middelverdisetningen

Fra analysen av énvariabelfunksjoner husker vi at hvis \(f \, : \, \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) er en kontinuerlig funksjon på intervallet \([a,b]\), så finnes \(a\leq c \leq b\) slik at

\[f(c) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx .\]

Det finnes med andre ord et punkt \(c\in [a,b]\) hvor \(f(c)\) er lik gjennomsnittsverdien til \(f\) på intervallet.

Arealet av det blå kvadratet er lik \(f(c)=\int_0^1 f(x) \, dx\). Vi ser at i dette tilfellet er det ikke bare én, men tre verdier av \(c\in[0,1]\) som har denne egenskapen (indikert ved stiplede linjer).

Et tilsvarende resultat har vi for funksjoner av flere variable.

Vi skriver gjerne

\[\overline{f} = \frac{1}{\text{areal}(D)} \iint_D f(x,y) \, dA ,\]

og kaller \(\overline{f}\) middelverdien, eller gjennomsnittsverdien, til \(f\) på \(D.\)