Et uegentlig integral som divergerer
Eksempel
Vi skal avgjøre om det uegentlige integralet \(\iint_D f(x,y) \, dA\) konvergerer eller divergerer, der \(f(x,y)=1/(x+y)^2\) og \(D\) er trekanten med hjørner i \((0,0)\), \((0,1)\) og \((1,1).\)
Løsning
Vi definerer integralet \(\iint_D f(x,y) \, dA\) som grenseverdien
\[\iint_D f(x,y) \, dA = \lim_{\varepsilon \to 0} \iint_{D_{\varepsilon}} f(x,y) \, dA ,\]
der
\[D_{\varepsilon} = \left\{ (x,y) \, : \, 0 \leq x \leq y , \, \varepsilon \leq y \leq 1 \right\}.\]
Ved iterert integrasjon har vi at
\[ \begin{align} \iint_{D_{\varepsilon}} \frac{1}{(x+y)^2} \, dA &= \int_{\varepsilon}^1 \left( \int_0^y \frac{1}{(x+y)^2} \, dx\right) dy \\ &= \int_{\varepsilon}^1 \left[ - \frac{1}{x+y}\right]_0^y \, dy \\ &= \int_{\varepsilon}^1 \left( \frac{1}{y} - \frac{1}{2y}\right) \, dy \\ &= \frac{1}{2}\left[ \ln y\right]_{\varepsilon}^1 = -\frac{1}{2} \ln \varepsilon . \end{align} \]
Vi ser at
\[\iint_{D_{\varepsilon}} \frac{1}{(x+y)^2} \, dA \to \infty \quad \text{når} \quad \varepsilon \to 0 .\]
Altså divergerer det uegentlige integralet \(\iint_{D} 1/(x+y)^2 \, dA.\)