Dobbeltintegral evaluert ved variabelskifte
Eksempel
Vi vil finne verdien av integralet \(\iint_D e^{x^2+2y^2} \, dA,\) der \(D\) er ellipsen gitt ved \(x^2+2y^2\leq 1.\)
Løsning
Vi ser at selv om området \(D\) er både \(x\)-enkelt og \(y\)-enkelt, så vil det bli vanskelig å regne ut integralet iterert i \(x\) og \(y,\) da vi mangler verktøy for å håndtere integrandene \(e^{x^2}\) og \(e^{2y^2}.\) Vi innfører derfor koordinattransformasjonen \(T(u,v) = (x(u,v), y(u,v))\) , der
\[ \begin{align} x(u,v)&=u\cos v ,\\ y(u,v)&=\frac{1}{\sqrt{2}}u\sin v . \end{align} \]
Vi ser at denne oppfyller
\[x^2+2y^2 = u^2\cos^2 v + 2 \cdot \frac{1}{2} u^2 \sin^2 v = u^2 .\]
Følgelig har vi at \(T \, : \, S \to D\), der
\[S= \left\{ (u,v) \, : \, 0 \leq u \leq 1, 0 \leq v < 2\pi \right\},\]
er en én-entydig koordinattransformasjon.
Jacobi-determinanten \(J(u,v)\) til \(T\) er
\[ \begin{align} J(u,v) &= \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} = \left| \begin{matrix} \cos v & -u\sin v \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\sin v & \frac{1}{\sqrt{2}} u \cos v \end{matrix}\right| \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} u \cos^2 v + \frac{1}{\sqrt{2}} u \sin^2 v = \frac{1}{\sqrt{2}} u , \end{align} \]
og ved å gjøre et variabelskifte i dobbeltintegralet finner vi at
\[ \begin{align} \iint_D e^{x^2+2y^2} \, dx \, dy &= \iint_S e^{u^2} \left| \frac{1}{\sqrt{2}}u\right| \, du \, dv \\ &= \int_0^{2\pi} \left( \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{2}} ue^{u^2} \, du \right) \, dv \\ &= 2 \pi \left[ \frac{1}{2\sqrt{2}}e^{u^2}\right]_0^1 = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \left( e-1\right). \end{align} \]