Ekstremalverdier for funksjoner av flere variable

Begrepet ekstremalverdi er kjent fra analysen av énvariabelfunksjoner, og defineres analogt for funksjoner av flere variable. I dette kapittelet ser vi på klassifikasjon av såkalte kritiske punkter, og går gjennom ulike metoder for å finne ekstremalverdier for en flervariabelfunksjon.

Lokale ekstremalverdier

La $f=f(x,y)$ være en funksjon av to variable med definisjonsmengde $D_f$ . Vi sier at $(a,b)\in D_f$ er et lokalt maksimumspunkt dersom

$f(a,b) \geq f(x,y)$

for alle $(x,y) \in D_f$ i nærheten av $(a,b)$ . Vi sier at $(a,b)$ er et lokalt minimumspunkt dersom

$f(a,b) \leq f(x,y)$

for alle $(x,y) \in D_f$ i nærheten av $(a,b)$ .

Lokale maksimumspunkter (sentrum i de røde sirklene) og minimumspunkter (sentrum i de blå sirklene) for en funksjon $f$ av to variable.

Globale ekstremalverdier

La $f=f(x,y)$ være en funksjon av to variable med definisjonsmengde $D_f$ . Vi sier at $(a,b) \in D_f$ er et globalt maksimumspunkt for funksjonen dersom

$f(a,b) \geq f(x,y)$

for alle $(x,y) \in D_f$ . Vi sier at $(a,b) \in D_f$ er et globalt minimumspunkt for funksjonen dersom

$f(a,b) \leq f(x,y)$

for alle $(x,y) \in D_f$ .