Globalt minimum og maksimum for en funksjon
Eksempel
Vi vil finne global maksimums- og minimumsverdi for funksjonen
\[f(x,y)=xy-y^2\]
på sirkelflaten \(x^2+y^2 \leq 1.\)
Løsning
Definisjonsmengden
\[D_f = \{(x,y) \, : \, x^2+y^2 \leq 1 \}\]
er en lukket og begrenset mengde i \(\mathbb{R}^2\), så ekstremalverdisetningen garanterer at \(f\) har globale ekstremalverdier i \(D_f\). Vi ser først på gradienten
\[\nabla f (x,y)= \left( y, x-2y \right) .\]
Denne er veldefinert i hele planet, så \(f\) har ingen singulære punkter. Funksjonen har imidlertid ett kritisk punkt \((0,0)\) i definisjonsmengden, og her tar \(f\) verdien
\[f(0,0) = 0 .\]
Vi evaluerer så funksjonen på randen \(\partial D_f\). Denne kan parametriseres som
\[x(t) = \cos t , \quad y(t) = \sin t, \quad 0\leq t \leq 2\pi ,\]
og innsatt i \(f=f(x,y)\) får vi
\[f(\cos t, \sin t) = \cos t \sin t - \sin^2t = g(t) .\]
Vi finner så ekstremalverdiene for funksjonen \(g\) på intervallet \([0,2\pi]\). Vi har
\[ \begin{align} g'(t)&= \cos^2 t -\sin^2t -2\sin t \cos t \\ &= \cos 2t - \sin 2t , \end{align} \]
og vi ser at \(g'(t)=0\) hvis og bare hvis \(\cos 2t = \sin 2t\). Dette skjer for fire verdier av \(t\) i intervallet \([0,2\pi]\), nemlig
\[t_j = \frac{\pi}{8}+ \frac{\pi}{2}\cdot j, \quad j=0,1,2,3 .\]
Vi har at
\[ \begin{align} \sin 2t_j &= \cos 2t_j = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad j=0,2; \\ \sin 2t_j &= \cos 2t_j = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad j=1,3. \end{align} \]
Skriver vi om funksjonen \(g\) som
\[g(t)=\frac{1}{2}\sin 2t + \frac{1}{2}(\cos 2t-1),\]
ser vi dermed at
\[g(t_j)=f(\cos t_j, \sin t_j)= \frac{1}{2}(\sqrt{2}-1)\]
for \(j=0,2\), og
\[g(t_j) = f(\cos t_j, \sin t_j) = -\frac{1}{2}(\sqrt{2}+1)\]
for \(j=1,3\). Sammenligner vi disse verdiene med det kritiske punktet \(f(0,0)=0\), ser vi at den globale maksimumsverdien til \(f\) i definisjonsmengden \(D_f\) er \((\sqrt{2}-1)/2\), og den globale minimumsverdien til \(f\) er \(-(\sqrt{2}+1)/2\). Grafen til \(f\) over \(D_f\) er skissert under.
