Bruk av annenderiverttesten
Eksempel
Vi vil finne og klassifisere de kritiske punktene til funksjonen
\[f(x,y) = x \sin y .\]
Løsning
Vi finner først de partiellderiverte og setter disse lik null:
\[ \begin{align} \frac{\partial f}{\partial x} &= \sin y = 0 , \, &\text{(A)} \\ \frac{\partial f}{\partial y} &= x\cos y=0 . \, &\text{(B)} \end{align} \]
Fra ligning (A) får vi at \(y=\pi n\) for \(n\in \mathbb{Z}\). Setter vi dette inn i ligning (B) ser vi at vi må ha \(x=0\). Altså er de kritiske punktene til \(f\) alle punkter på formen
\[(0,\pi n), \quad n \in \mathbb{Z.}\]
La oss nå klassifisere disse ved å bruke annenderiverttesten. Vi har at
\[ \begin{align} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} &= 0 ,\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} &= \cos y ,\\ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}&=-x\sin y . \end{align} \]
Dermed er
\[\mathcal{D} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} - \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right)^2 = -\cos^2 y .\]
I alle kritiske punkter er \(|\cos y|=1\), og det følger at \(\mathcal{D}>0\). Altså er alle kritiske punkter for funksjonen sadelpunkter. Grafen til \(f\) er skissert nedenfor.
