Når annenderiverttesten ikke gir svar
Eksempel
Vi vil klassifisere de kritiske punktene til funksjonen
\[f(x,y) = \cos (x+y) .\]
Løsning
La oss først se at annenderiverttesten ikke kan brukes her. Vi finner de deriverte
\[\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} = -\sin (x+y) ,\]
og videre har vi at
\[\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -\cos (x+y) .\]
Dermed ser vi at
\[\mathcal{D} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}-\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right)^2 = 0 \]
i alle punkter (ikke bare de kritiske), og det følger at annenderiverttesten ikke kan brukes.
La oss nå finne, og se nærmere på, de kritiske punktene til funksjonen. Vi setter
\[\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y}=0,\]
og finner at alle punkter \((x,y) \in \mathbb{R}^2\) hvor \(x+y=\pi n\) for et heltall \(n \in \mathbb{Z}\) er kritiske. Videre ser vi at
\[ \begin{align} f(x, 2n\pi-x) &= 1 \quad &\text{ for alle } n \in \mathbb{Z};\\ f(x,(2n+1)\pi-x)&=-1 \quad &\text{ for alle } n \in \mathbb{Z}. \end{align} \]
Da \(|f(x,y)| \leq 1\) for alle verdier av \(x\) og \(y\) følger det fra definisjonen av globalt maksimum og minimum at:
- \(f\) har lokale (og globale) maksimum i alle punkter på linjene \[y=2n \pi -x, \quad n \in \mathbb{Z} .\]
- \(f\) har lokale (og globale) minimum i alle punkter på linjene \[y=(2n+1)\pi -x, \quad n \in \mathbb{Z} .\]
Grafen til \(f\) er skissert nedenfor.
