Minste avstand fra origo til kurve i planet
Eksempel
Vi vil finne korteste avstand fra kurven \(x^2y=16\) til origo ved hjelp av Lagranges multiplikatormetode.
Løsning
Grafen til kurven \(x^2y=16\) er skissert i rødt i figuren nedenfor, og det ser ut til at to punkter \(P_1\) og \(P_2\) er nærmere origo enn alle andre. For å finne disse må vi minimere \(f(x,y) =\sqrt{x^2+y^2}\) gitt \(g(x,y)=x^2y-16=0\). Alternativt kan vi velge å se på avstanden til origo kvadrert og minimere denne, det vil si
\[ \begin{align} \textbf{minimere} \quad f(x,y) &=x^2+y^2 \\ \textbf{ gitt } \quad g(x,y)&=x^2y-16=0 . \end{align} \]
Den tilhørende Lagrange-funksjonen er
\[L(x,y,\lambda) = x^2+y^2+\lambda(x^2y-16),\]
og i dens kritiske punkter må vi ha
\[ \begin{align} 0&=\frac{\partial L}{\partial x} = 2x+2\lambda xy &\text{(A)}\\ 0&=\frac{\partial L}{\partial y} = 2y+\lambda x^2 &\text{(B)} \\ 0&=\frac{\partial L}{\partial \lambda} = x^2y-16. &\text{(C)} \end{align} \]
Fra ligning (A) følger det at \(x=0\) eller \(\lambda y = -1\). Ligning (C) garanterer at både \(x\neq 0\) og \(y\neq 0\), så vi må ha \(\lambda y=-1\). Setter vi dette inn i ligning (B) får vi
\[0=2y^2+\lambda yx^2=2y^2-x^2,\]
som gir \(x=\pm \sqrt{2}y\). Innsatt i (C) gir dette \(2y^3=16\), eller \(y=2\). Altså har vi funnet to punkter hvor avstanden til origo kan være minimal:
\[ \begin{align} P_1 &=(x_1, y_1) = (-2\sqrt{2},2) , \\ P_2 &=(x_2, y_2) = (2\sqrt{2}, 2) . \end{align} \]
Fra både \(P_1\) og \(P_2\) er avstanden til origo \(\sqrt{8+4}=2\sqrt{3}\), og dette er følgelig den minste anstanden fra kurven \(x^2y=16\) til origo.
I figuren nedenfor er kurven \(x^2y=16\) skissert i rødt, og nivåkurver for funksjonen \(f(x,y)=x^2+y^2\) skissert i svart. I punktene \(P_1\) og \(P_2\) ser vi at kurven og nivåkurven er tangentielle; dette illustrerer at vektorene \(\nabla g\) og \(\nabla f\) er parallelle i disse punktene.
