Grenser og kontinuitet

Uformell definisjon av grenseverdi

Som for funksjoner av én variabel sier vi at \(f(x,y)\) nærmer seg grenseverdien \(L\) når \((x,y)\) går mot \((a,b)\) og skriver

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (a,b)} f(x,y)= L,$$

hvis alle punkter i nærheten av \((a,b)\) er i definisjonsmengden til \(f\), og \(f\) nærmer seg \(L\) når \((x,y)\) nærmer seg \((a,b)\).

Før vi skal se på den formelle definisjonen av grenseverdi minner vi om at avstanden i to dimensjoner fra et punkt \((x,y)\) til \((z,w)\) er gitt ved

\[ \begin{align} |(x,y)- (z,w)|&= |(x-z,y-w)| \\ &= \sqrt{(x-z)^2 + (y-w)^2 }. \end{align} \]

Formell definisjon av grenseverdi

Vi sier at \(L\) er grenseverdien til funksjonen \(f(x,y)\) i punktet \((a,b)\) og skriver

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (a,b)} f(x,y)= L,$$

dersom det,

  1. For hver \(\rho >0\) finnes minst ett punkt \((x,y) \in D_f\) som oppfyller $$0< |(x,y) - (a,b) | < \rho.$$
  2. For hver \( \epsilon >0\) finnes en \(\delta >0\) slik at dersom \( (x,y) \in D_f \) og $$ 0 < | (x,y) - (a,b) | < \delta$$ så er $$| f(x,y) - L |< \epsilon.$$

Regneregler for grenseverdier

Anta at \(f(x,y) \rightarrow L \) og \(g(x,y) \rightarrow M \) når \( (x,y) \rightarrow (a,b) \). Da er

\[ \begin{align} &1. \quad \quad \lim_{(x,y) \rightarrow (a,b)} \left( f(x,y) \pm g(x,y) \right) = L \pm M \\ &2. \quad \lim_{(x,y) \rightarrow (a,b)} f(x,y) g(x,y) =LM \\ &3. \quad \lim_{(x,y) \rightarrow (a,b)} \frac{f(x,y)}{g(x,y)} = \frac{L}{M}, \quad M \neq 0. \end{align} \]

Dersom \(F\) er en kontinuerlig funksjon av én variabel så er

\[ \begin{align} 4. \quad \lim_{(x,y) \rightarrow (a,b)} F(f(x,y)) = F(L). \end{align} \]

Kontinuitet

Funksjonen \(f(x,y)\) er kontinuerlig i punktet \((a,b)\) hvis

$$\lim_{(x,y) \rightarrow (a,b)}f(x,y) = f(a,b).$$

Fra den formelle definisjonen av grenseverdi ser vi at vi må kunne nærme oss \((a,b)\) fra alle mulige retninger og få samme grense. Dette kan man bruke til å vise diskontinuitet - dersom man regner ut grenseverdier fra to forskjellige retninger og får ulikt svar, kan ikke funksjonen være kontinuerlig i det angitte punktet.