Grenseverdi

Avgjør om grenseverdien

$$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{x^2 y^2}{x^2 y^2 + (x-y)^2}$$

eksisterer.

Løsning: Vi sjekker om vi får samme svar når vi beveger oss mot origo fra to forskjellige retninger. Langs linjen \(y=0\) er funksjonen vi skal beregne grenseverdien til lik 0. Hvis vi beveger oss langs linjen \( y=x\) får vi

$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x^4}{x^4} = 1.$$

Siden vi får to forskjellige svar når vi beveger oss mot origo langs to forskjellige retninger, kan ikke grenseverdien eksistere.