Implisitt funksjonsteorem

La \(D\) være en åpen delmengde i \(\mathbb{R}^2 \) og la \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) være en funksjon av variablene \(x\) og \(y\) med kontinuerlige partiellderiverte. Anta at punktet \( (a,b) \in D \) oppfyller \(f(a,b)=0\) og \( \frac{\partial f }{\partial y}(a,b) \neq 0\). Da finnes det en deriverbar funksjon \( g: A \rightarrow \mathbb{R}\) hvor \(A\) er intervallet \( (a-\rho, a+\rho)\) for en \( \rho >0\), som oppfyller \( g(a)=b, f(x, g(x))=0\). Den deriverte er

$$g'(x)= - \frac{\frac{\partial f}{\partial x}(x,g(x))}{\frac{\partial f}{\partial y}(x,g(x))}.$$

La \(D\) være en åpen delmengde i \(\mathbb{R}^{n+1} \) og la \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) være en funksjon av variablene \(\textbf{x}\) og \(y\) med kontinuerlige partiellderiverte. Anta at punktet \( (\textbf{a},b) \in D \) oppfyller \(f(\textbf{a},b)=0\) og \( \frac{\partial f }{\partial y}(\textbf{a},b) \neq 0\). Da finnes det en deriverbar funksjon \( g: A \rightarrow \mathbb{R}\) hvor \(A = \{ x \in \mathbb{R}^n : |\textbf{x}- \textbf{a}|< \rho \} \) for en \( \rho >0\), som oppfyller \( g(\textbf{a})=b, f(\textbf{x}, g(\textbf{x}))=0\). Den deriverte er

$$\frac{\partial g}{\partial x_i}(\textbf{x})= - \frac{\frac{\partial f}{\partial x_i}(\textbf{x},g(\textbf{x}))}{\frac{\partial f}{\partial y}(\textbf{x},g(\textbf{x}))}.$$