Processing math: 100%

Partiellderivasjon

Partiellderiverte

De partiellderiverte av f(x,y) med hensyn på hendholdsvis x og y er

f(x,y)x=fx=limh0f(x+h,y)f(x,y)h,f(x,y)y=fy=limh0f(x,y+h)f(x,y)h.

Av definisjonen ser vi at vi beholder y som er konstant når vi deriverer med hensyn på x og vica versa når vi deriverer med hensyn på y.

Definisjonen er tilsvarende for flere variable. Vi kaller vektoren f bestående av partiellderiverte til f gradienten til f, og skriver

f(x)=(fx1(x),fx2(x),...fxn(x)).

Tangentplan og normalvektor

Ligningen for tangentplanet til z=f(x,y) i punktet (a,b,f(a,b)) er gitt ved

z=f(a,b)+fx(a,b)(xa)+fy(a,b)(yb).

Normalen til z=f(x,y) i punktet (a,b) er gitt ved

n=(fx(a,b),fy(a,b),1).

Illustrasjon av tangentplanet til en funksjon av to variable.

Høyere ordens partiellderiverte

Partiellderiverte av andre og høyere orden finnes ved å partiellderivere de partiellderiverte. En funksjon av to variable kan ha fire forskjellige partiellderiverte av andre orden,

2fx2=xfx=fxx2fxy=xfy=fyx2fyx=yfx=fxy2fy2=yfy=fyy.

Dersom funksjonen f har kontinuerlige partiellderiverte opp til andre orden er fxy=fyx.

Kjerneregelen

Hvis z er en funksjon av x og y med kontinuerlige førsteordens deriverte og dersom x og y er deriverbare funksjoner av t, så er

dzdt=zxdxdt+zydydt.