Partiellderivasjon

De partiellderiverte av $f(x,y)$ med hensyn på hendholdsvis $x$ og $y$ er

Av definisjonen ser vi at vi beholder $y$ som er konstant når vi deriverer med hensyn på $x$ og vica versa når vi deriverer med hensyn på $y$.

Definisjonen er tilsvarende for flere variable. Vi kaller vektoren $\nabla f$ bestående av partiellderiverte til $f$ gradienten til $f$, og skriver

$$\nabla f ( \textbf{x}) = \left( f_{x_1} (\textbf{x}), f_{x_2} (\textbf{x}),...f_{x_n} (\textbf{x}) \right).$$

Ligningen for tangentplanet til $z= f(x,y)$ i punktet $(a,b,f(a,b))$ er gitt ved

$$z= f(a,b) + f_x (a,b) (x-a) + f_y(a,b) (y-b).$$

Normalen til $z = f(x,y)$ i punktet $(a,b)$ er gitt ved

$$\textbf{n} = \left( f_x (a,b), f_y (a,b), -1 \right).$$

Partiellderiverte av andre og høyere orden finnes ved å partiellderivere de partiellderiverte. En funksjon av to variable kan ha fire forskjellige partiellderiverte av andre orden,

Dersom funksjonen $f$ har kontinuerlige partiellderiverte opp til andre orden er $f_{xy}= f_{yx}$.

Hvis $z$ er en funksjon av $x$ og $y$ med kontinuerlige førsteordens deriverte og dersom $x$ og $y$ er deriverbare funksjoner av $t$, så er

$$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}.$$