Partiellderivasjon
Partiellderiverte
De partiellderiverte av f(x,y) med hensyn på hendholdsvis x og y er
∂f(x,y)∂x=fx=limh→0f(x+h,y)−f(x,y)h,∂f(x,y)∂y=fy=limh→0f(x,y+h)−f(x,y)h.
Av definisjonen ser vi at vi beholder y som er konstant når vi deriverer med hensyn på x og vica versa når vi deriverer med hensyn på y.
Definisjonen er tilsvarende for flere variable. Vi kaller vektoren ∇f bestående av partiellderiverte til f gradienten til f, og skriver
∇f(x)=(fx1(x),fx2(x),...fxn(x)).
Tangentplan og normalvektor
Ligningen for tangentplanet til z=f(x,y) i punktet (a,b,f(a,b)) er gitt ved
z=f(a,b)+fx(a,b)(x−a)+fy(a,b)(y−b).
Normalen til z=f(x,y) i punktet (a,b) er gitt ved
n=(fx(a,b),fy(a,b),−1).
Høyere ordens partiellderiverte
Partiellderiverte av andre og høyere orden finnes ved å partiellderivere de partiellderiverte. En funksjon av to variable kan ha fire forskjellige partiellderiverte av andre orden,
∂2f∂x2=∂∂x∂f∂x=fxx∂2f∂x∂y=∂∂x∂f∂y=fyx∂2f∂y∂x=∂∂y∂f∂x=fxy∂2f∂y2=∂∂y∂f∂y=fyy.
Dersom funksjonen f har kontinuerlige partiellderiverte opp til andre orden er fxy=fyx.
Kjerneregelen
Hvis z er en funksjon av x og y med kontinuerlige førsteordens deriverte og dersom x og y er deriverbare funksjoner av t, så er
dzdt=∂z∂xdxdt+∂z∂ydydt.