Tangentplan og normal

Finn ligninger for tangentplanet og normalen til funksjonen \(f(x,y) = x^2- e^yx^3\) i punktet \((1,1)\).

Løsning: Tangentplanet er gitt ved

\[z=f(a,b) + \frac{\partial f}{\partial x}(a,b) (x-a) + \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) (y-b).\]

Her er \(a=b=1\) og \(f(1,1) = 1-e\), \(f_x(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\left( x^2-e^yx^3 \right) = 2x-3e^yx^2\), \(f_x(1,1) = 2-3e\), \(f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\left( x^2-e^yx^3 \right) = -e^yx^3\) og \(f_y(1,1)=-e\). Innsatt i ligningen for tangentplanet gir alt dette

\[z = 1-e + (2-3e)(x-1) + (-e)(y-1) \]

eller

\[ z +(3e-2) x + ey = 3e-1.\]

Normalen er gitt ved

\[\mathbf{n} = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(a,b), \frac{\partial f}{\partial y}(a,b), -1 \right) .\]

Vi har allerede regnet ut \(\frac{\partial f}{\partial y}(1,1)\) og \(\frac{\partial f}{\partial y}(1,1)\), slik at svaret blir

\[\mathbf{n} = \left( (2-3e), -e, -1 \right).\]