Areal avgrenset av lukket kurve

Vi skal finne arealet avgrenset av den lukkede kurven parametrisert ved

\[x= t^2, \quad y=\sin t, \quad -\pi \leq t \leq \pi.\]

Ettersom det er snakk om en lukket kurve spiller det ingen rolle om vi tenker at arealet er avgrenset av \(x\)- eller \(y\)-aksen. For et område avgrenset av \(x\)-aksen og den parametriske kurven \(x=f(t), y=g(t)\) for \(a\le t \le b\) har man

\[A= \int_a^b y\, dx = \int_a^b g(t)f'(t)\, dt,\]

som her gir

\[A = \int_{-\pi}^{\pi} 2t\sin t \, dt.\]

For et område avgrenset av \(y\)-aksen får man

\[A = \int_a^b x \, dy = f(t)g'(t)\, dt,\]

som her blir

\[A = \int_{-\pi}^{\pi} t^2\cos t\, dt.\]

Begge integralene skal gi det samme svaret, så vi velger det som ser enklest ut, altså det med lavest potens av \(t\). Vi har da