Buelengde til en parametrisk kurve
Eksempel
Vi skal finne buelengden til kurven parametrisert ved
$$x=\sqrt{2}t, \quad y=\sqrt{t}\left(\frac{2}{3}t-1\right), \quad 0\leq t \leq 2.$$
I denne oppgaven er \(f(t)=\sqrt{2}t\), som gir \(f'(t) = \sqrt{2}\). I tillegg er \(g(t)=\sqrt{t}\left(\frac{2}{3}t-1\right)=\frac{2}{3}t^{3/2}-t^{1/2}\) slik at \(g'(t)=t^{1/2}-\frac{1}{2}t^{-1/2}\). Innsatt i formelen for buelengde har man da
\[ \begin{align} s &= \int_0^2 \sqrt{\sqrt{2}^2+\left(t^{1/2}-\frac{1}{2}t^{-1/2}\right)^2}dt \\ &= \int_0^2 \sqrt{2+t-1+\frac{1}{4}t^{-1}}dt\\ &=\int_0^2\sqrt{t+1+\frac{1}{4}t^{-1}}dt, \end{align} \]
der grensene er tatt fra ulikheten \(0\le t\le 2\). Ettersom vi allerede regnet ut at \(\left(t^{1/2}-\frac{1}{2}t^{-1/2}\right)^2=t-1+\frac{1}{4}t^{-1}\) så ser vi raskt at \(t+1+\frac{1}{4}t^{-1}=\left(t^{1/2}+\frac{1}{2}t^{-1/2}\right)^2\). Dette gjør at rottegnet kanselleres, og vi får
\[ \begin{align} s &= \int_0^2 \sqrt{\left(t^{1/2}+\frac{1}{2}t^{-1/2}\right)^2}dt\\ & = \int_0^2 t^{1/2}+\frac{1}{2}t^{-1/2} dt \\ &= \left[\frac{2}{3}t^{3/2}+t^{1/2}\right]_0^2\\ & = \frac{2}{3}2^{3/2}+2^{1/2} = \frac{7\sqrt{2}}{3}. \end{align} \]