Areal av område gitt i polarkoordinater
Eksempel
Vi skal finne arealet av området som ligger innenfor \(r=1\) og utenfor \(r=1-\cos \theta\).
Løsning: Siden vi skal finne arealet innenfor enhetssirkelen må \(\theta\) variere fra \(-\frac{\pi}{2}\) til \(\frac{\pi}{2}\). Arealet får vi ved å regne ut arealet av halvparten av enhetssirkelen og trekker fra det arealet av \(r=1-\cos \theta\) som ligger til høyre for \(y-\)aksen. Dermed blir
\[ \begin{align} A&=\frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1^2 - \left( 1-\cos \theta \right)^2 \, d\theta \\ &=\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 2\cos \theta - \cos^2 \theta \, d\theta \\ &= \frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 2\cos \theta - \left( \frac{\cos 2\theta + 1}{2}\right) \, d\theta \\ &= 2- \frac{\pi}{4}. \end{align} \]