Parametrisering av en sirkel

Vi vil finne en parametrisering av sirkelen sentrert i origo med radius \(R\), $$x^2+ y^2 = R^2.$$

Fra figuren nedenfor ser vi at vi kan uttrykke \(x\) og \(y\) ved en varierende vinkel \(t\) og radien \(R\).

Fra figuren ser vi at $$ x= R \cos t, \quad y= R \sin t.$$ For å få med alle punktene på sirkelen må vinkelen \(t\) variere fra \(0\) til \(2\pi\). Når man har funnet en parametrisering kan det være greit å sjekke at denne stemmer. Her har vi at \( x^2 + y^2 = R^2 ( \cos^2 t + \sin^2 t) = R^2\). Altså er

$$ x=R\cos t, \quad y= R\sin t, \quad t \in [0,2\pi]$$ en parametrisering av sirkelen sentrert i origo med radius \(R\).