Massesentrum
Eksempel
La \(T\) være et sylinderformet legeme med radius \(R\) og høyde \(h\), slik at hvis vi betrakter \(T\) som området i \(\mathbb{R}^3\) gitt ved \(x^2 + y^2 \leq R^2\) og \(0 \leq z \leq h\) er massetettheten gitt ved
\[\delta(x,y,z) = \mu + (x^2+y^2)z\]
for en konstant \(\mu > 0\). Finn massesenteret til legemet \(T\).
Løsning
Vi finner først massen til \(T\), som er gitt ved integralet
\[ m = \iiint_{T} \delta(x,y,z)\,dV.\]
For å integrere over \(T\) kan vi bruke sylinderkoordinater; da er \(T\) gitt ved ulikhetene \(0 \leq r\leq R\), \(0 \leq \theta \leq 2\pi\) og \(0 \leq z \leq h\) mens \(\delta\) blir funksjonen \(\mu + r^2 z\). Vi får da
\[ \begin{align} m & = \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{R} \int_{0}^{h} (\mu + r^2 z)r \,dz\,dr\,d\theta \\ & = \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{R} \left(\mu h r + \frac{1}{2} h^2 r^3\right)\,dr\,d\theta \\ & = \int_{0}^{2 \pi} \left( \frac{1}{2} \mu h R^2 + \frac{1}{8} h^2 R^4 \right)\,d\theta \\ & =\frac{1}{4} \pi h R^2 (4\mu + h R^2). \end{align} \]
Vi finner så momentene til \(T\), som er
\[ \begin{align} M_{z=0} & = \iiint_{T} z\delta(x,y,z)\,dV \\ & = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} \int_{0}^{h} z(\mu + r^2 z) r \,dz\,dr\,d\theta \\ & = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} \left(\frac{1}{2} \mu h^2 r+ \frac{1}{3} h^3 r^3\right) \,dr\,d\theta \\ & = \int_{0}^{2\pi} \left(\frac{1}{4} \mu h^2 R^2 + \frac{1}{12} h^3 R^4 \right)\,d\theta \\ & = \frac{1}{2} \pi \mu h^2 R^2 + \frac{1}{6} \pi h^3 R^4,\\ & = \frac{1}{6} \pi h^2 R^2 (3 \mu + h R^2),\\ M_{x=0} & =\iiint_{T} x\delta(x,y,z)\,dV \\ & = \int_{0}^{R} \int_{0}^{h} \int_{0}^{2\pi} r \cos \theta (\mu + r^2 z) r \,d\theta\,dz\,dr \\ & = \int_{0}^{R} \int_{0}^{h} (r^2 \mu + r^4 z) \left[\sin \theta\right]_{\theta=0}^{\theta=2\pi}\,dz\,dr = 0, \\ M_{y=0} & =\iiint_{T} y\delta(x,y,z)\,dV \\ & = \int_{0}^{R} \int_{0}^{h} \int_{0}^{2\pi} r \sin \theta (\mu + r^2 z) r \,d\theta\,dz\,dr \\ & = \int_{0}^{R} \int_{0}^{h} (r^2 \mu + r^4 z) \left[-\cos \theta\right]_{\theta=0}^{\theta=2\pi}\,dz\,dr = 0. \\ \end{align} \]
Til slutt finner vi massesenteret, som er punktet \((\overline{x},\overline{y},\overline{z})\) der
\[ \begin{align} \overline{x} & = \frac{M_{x=0}}{m} = 0,\\ \overline{y} & = \frac{M_{y=0}}{m} = 0,\\ \overline{z} & = \frac{M_{z=0}}{m} \\ & = \frac{\frac{1}{6} \pi h^2 R^2 (3 \mu + h R^2)}{\frac{1}{4} \pi h R^2 (4\mu + h R^2)}\\ & = \frac{2 h (3 \mu + h R^2)}{3 (4\mu + h R^2)}\\ \end{align} \]
Siden \(T\) og \(\delta\) begge er symmetriske under rotasjon om \(z\)-aksen ser vi også uten utregning at massesenteret må ha \(\overline{x}=\overline{y}=0\), siden massesenteret også må være uendret under rotasjon om \(z\)-aksen.