Kulekoordinater
Kulekoordinater (eller sfæriske koordinater) angir et punkt \(P\) i rommet som en trippel \([\rho, \phi, \theta]\), der \(\rho\) er avstanden fra \(P\) til origo, \(\phi\) er vinkelen mellom linjen \(OP\) og \(z\)-aksen, og \(\theta\) er vinkelen mellom projeksjonen av \(OP\) ned i \(xy\)-planet og \(x\)-aksen.
Det er ikke uvanlig å kreve at \(\rho\geq 0\), \(0\leq \phi \leq \pi\) og \(0\leq \theta < 2\pi\) eller \(-\pi < \theta \leq \pi\), slik at hvert punkt (unntatt de som ligger på \(z\)-aksen) har en unik representasjon.
Dersom punktet \(P\) har kulekoordinatene \([\rho, \phi, \theta]\), så er punktets kartesiske koordinater gitt ved:
\[ \begin{align} x&= \rho \sin \phi \cos \theta \\ y&= \rho \sin \phi \sin \theta \\ z&= \rho \cos \phi \end{align} \]
Det følger at
\[\rho^2 = x^2+y^2+z^2 = r^2 + z^2 ,\]
så sammenhengen mellom \(\rho\) og den sylindriske radien \(r\) er gitt ved
\[ \begin{align} r &= \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{\rho^2-z^2} \\ &=\rho\sqrt{1-\cos^2 \phi} = \rho \sin \phi . \end{align} \]
Videre er
\[\tan \phi = \frac{r}{z} = \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\]
og
\[ \tan \theta = \frac{y}{x} .\]