Flater gitt i kulekoordinater

1. Beskriv flaten gitt ved $\rho=z.$
2. Beskriv flaten gitt ved $\phi=\pi/4.$

Løsning 1

Vi har at

$$\rho = z=\rho \cos \phi .$$

Om vi ser bort fra origo ($\rho =0$), ser vi at dette impliserer $\cos \phi = 1$, som i sin tur impliserer

$$\phi=0 \quad \text{ eller } \quad \phi=\pi .$$

Punktene som oppfyller $\rho=z$ er altså punktene som ligger på $z$-aksen.

Løsning 2

Dersom $\phi=\pi/4,$ så er

$$\cos \phi = \sin \phi = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Vi ser at i så fall er

$$x^2+y^2 = \rho^2 \sin^2 \phi = \rho^2 \cos^2 \phi = z^2,$$

og dette kjenner vi igjen som formelen for en sirkulær kjegle (med bunnpunkt i origo) som danner en vinkel $\phi=\pi/4$ med $z$-aksen. Merk at vi bare får øvre del av kjeglen, da $z$ må være positiv.