Flater gitt i kulekoordinater

Eksempel

  1. Beskriv flaten gitt ved \(\rho=z.\)
  2. Beskriv flaten gitt ved \(\phi=\pi/4.\)

Løsning 1

Vi har at

\[\rho = z=\rho \cos \phi .\]

Om vi ser bort fra origo (\(\rho =0\)), ser vi at dette impliserer \(\cos \phi = 1\), som i sin tur impliserer

\[\phi=0 \quad \text{ eller } \quad \phi=\pi .\]

Punktene som oppfyller \(\rho=z\) er altså punktene som ligger på \(z\)-aksen.

Løsning 2

Dersom \(\phi=\pi/4,\) så er

\[\cos \phi = \sin \phi = \frac{\sqrt{2}}{2}.\]

Vi ser at i så fall er

\[x^2+y^2 = \rho^2 \sin^2 \phi = \rho^2 \cos^2 \phi = z^2,\]

og dette kjenner vi igjen som formelen for en sirkulær kjegle (med bunnpunkt i origo) som danner en vinkel \(\phi=\pi/4\) med \(z\)-aksen. Merk at vi bare får øvre del av kjeglen, da \(z\) må være positiv.

Kjeglen gitt ved \(\phi=\pi/4.\)