Fra kartesiske koordinater til kulekoordinater

1. Angi punktet med kartesiske koordinater \((-2,0,-2)\) i kulekoordinater.
2. Angi punktet med kulekoordinater \([2, \pi/3, 5\pi/4]\) i sylinderkoordinater.

Løsning 1

Vi har at

Dermed er \(\rho=2\sqrt{2}.\) Videre har vi at

\[\tan \phi = \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} = \frac{\sqrt{(-2)^2}}{-2} = -1,\]

som gir \(\phi = 3\pi/4.\) Til slutt finner vi

\[\tan \theta = \frac{y}{x} = 0,\]

som er oppfylt for \(\theta = 0\) og \(\theta = \pi.\) Vi vet at \(x<0\), og velger derfor \(\theta=\pi\). Dermed får vi

\[(-2,0,-2) = [2\sqrt{2}, 3\pi/4, \pi].\]

Løsning 2

Vi har at

\[r=\rho \sin \phi = 2 \cdot \sin \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}.\]

Videre er

\[z = \rho \cos \phi = 2 \cos \frac{\pi}{3} =1.\]

Altså er punktet med kulekoordinater \([2, \pi/3, 5\pi/4]\) gitt ved sylinderkoordinatene

\[[\sqrt{3}, 5\pi/4, 1] .\]