Kartesiske til sylindriske koordinater
Eksempel
- Angi punktet \((-3,3,3)\) i sylindriske koordinater.
- Angi punktet \([2, 3\pi/2, 2]\) i kartesiske koordinater.
Løsning 1
Fra ligningene \(x=r\cos \theta\) og \(y=r\sin \theta\) følger det at
\[x^2 + y^2 = r^2.\] Her får vi derfor \[r^2 = (-3)^2+3^2 = 18 ,\]
og \(r=\sqrt{18} = 3\sqrt{2}.\) Videre har vi at
\[\frac{y}{x} = \tan \theta,\]
som her gir ligningen \(\tan \theta = -1\). Denne har to løsninger i intervallet \(0\leq \theta < 2\pi\),
\[\theta = \frac{3\pi}{4} \quad \text{ og } \quad \theta = \frac{7\pi}{4}.\]
Vi ser at punktet \((-3,3)\) ligger i 2. kvadrant i \(xy\)-planet, og velger derfor \(\theta=3\pi/4\). Dermed får vi
\[(-3,3,3) = [3\sqrt{2}, 3\pi/4, 3] .\]
Løsning 2
Her finner vi ved direkte innsetting at
\[x = r \cos \theta = 2 \cos \frac{3\pi}{2} = 0\]
og
\[y=r \sin \theta = 2 \sin \frac{3\pi}{2} = -2 .\]
Vi har altså
\[[2,3\pi/2,2]=(0,-2,2) .\]