Kartesiske til sylindriske koordinater

1. Angi punktet $(-3,3,3)$ i sylindriske koordinater.
2. Angi punktet $[2, 3\pi/2, 2]$ i kartesiske koordinater.

Løsning 1

Fra ligningene $x=r\cos \theta$ og $y=r\sin \theta$ følger det at

$$x^2 + y^2 = r^2.$$ Her får vi derfor $$r^2 = (-3)^2+3^2 = 18 ,$$

og $r=\sqrt{18} = 3\sqrt{2}.$ Videre har vi at

$$\frac{y}{x} = \tan \theta,$$

som her gir ligningen $\tan \theta = -1$. Denne har to løsninger i intervallet $0\leq \theta < 2\pi$,

$$\theta = \frac{3\pi}{4} \quad \text{ og } \quad \theta = \frac{7\pi}{4}.$$

Vi ser at punktet $(-3,3)$ ligger i 2. kvadrant i $xy$-planet, og velger derfor $\theta=3\pi/4$. Dermed får vi

$$(-3,3,3) = [3\sqrt{2}, 3\pi/4, 3] .$$

Løsning 2

Her finner vi ved direkte innsetting at

$$x = r \cos \theta = 2 \cos \frac{3\pi}{2} = 0$$

og

$$y=r \sin \theta = 2 \sin \frac{3\pi}{2} = -2 .$$

Vi har altså

$$[2,3\pi/2,2]=(0,-2,2) .$$