Trippelintegral ved iterert integrasjon
Eksempel
La \(T\) være tetraederet med hjørner i \((0,0,0)\), \((1,0,0)\), \((0,1,0)\) og \((0,0,1)\). Regn ut trippelintegralet
\[I = \iiint_T x \, dV .\]
Løsning
Tetraederet \(T\) er skissert i figuren under.
Om vi skjærer \(T\) med et plan normalt på \(y\)-aksen får vi trekanten \(T(y)\), som også er skissert i figuren. Her er \(y\) konstant, mens \(x\) og \(z\) varierer.
Vi regner først ut dobbeltintegralet av \(x\) over \(T(y)\). Her kan vi velge om vi vil integrere med hensyn på \(x\) eller \(z\) først. Om vi først integrerer med hensyn på \(z\), får vi
\[ \begin{align} \iint_{T(y)} x \, dA &= \int_0^{1-y} \int_0^{1-y-x} x \, dz \, dx \\ &=\int_0^{1-y} x(1-y)-x^2 \, dx \\ &=\left. \left( (1-y)\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3} \right) \right|_0^{1-y} \\ &= \frac{1}{6}(1-y)^3 . \end{align} \]
For å finne verdien av \(I\) integrerer vi nå dette uttrykket over \(y\), og får
\[ \begin{align} I = \iiint_T x \, dV = \int_0^1 \frac{1}{6}(1-y)^3 \, dy \\ = \left. -\frac{1}{24}(1-y)^4 \right|_0^{1} = \frac{1}{24}. \end{align} \]