Trippelintegraler i kulekoordinater

Hvis et punkt \((x,y,z)\) i rommet er beskrevet med sylinderkoordinater \((\rho,\phi,\theta)\) er de kartesiske koordinatene gitt ved

Dermed har vi at Jacobi-determinanten for denne koordinattransformasjonen er

\[\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho,\phi,\theta)} = \left| \begin{matrix} \sin \phi \cos \theta & \rho \cos \phi \cos \theta & - \rho \sin \phi \sin \theta \\ \sin \phi \sin \theta & \rho \cos \phi \sin \theta & \rho \sin \phi \cos \theta \\ \cos \phi & -\rho \sin \phi & 0 \end{matrix} \right| = \rho^2 \sin \phi.\]

Her er \(\sin\phi \geq 0\) siden \(0 \leq \phi \leq \pi\) og det følger at volumelementet i kulekoordinater er gitt ved

\[dV = \rho^2 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta .\]

Dette kan vi forklare geometrisk ved å se på volumet av «boksen» i rommet avgrenset av \(\rho,\) \(\rho+\Delta\rho,\) \(\theta,\) \(\theta + \Delta\theta\) og \(\phi,\) \(\phi+\Delta\phi\):

Hvis transformasjonen fra kulekoordinater til kartesiske koordinater avbilder mengden \(S\) på mengden \(D\), og \(f\) er en integrerbar funksjon på \(D\), har vi dermed

\[\iiint_D f(x,y,z) \, dV = \iiint_S f(\rho \sin \phi \cos \theta, \rho \sin \phi \sin \theta, \rho \cos \phi) \, \rho^2 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta.\]